Espectáculo $\dfrac{x_1}{x_n} + \dfrac{x_2}{x_{n-1}} + \dfrac{x_3}{x_{n-2}} + \dots + \dfrac{x_n}{x_1} \geq n$

Question

Recientemente me preguntó la pregunta que sacado de mí.

¿Cómo se puede mostrar $\dfrac{x_1}{x_n} + \dfrac{x_2}{x_{n-1}} + \dfrac{x_3}{x_{n-2}} + \dots + \dfrac{x_n}{x_1} \geq n$ de positivos reales $x_1, x_2, \dots, x_n$?

Answer 1

Por el AM-GM de la desigualdad, tenemos $$\frac{x_1/x_n+x_2/x_{n-1}+\cdots+x_n/x_1}{n}\geq\sqrt[n]{\frac{x_1}{x_n}\frac{x_2}{x_{n-1}}\cdots\frac{x_n}{x_1}}=\sqrt[n]{1}=1.$$

Answer 2

SUGERENCIA: Usar AM-GM de la desigualdad real positivo $a_i$s (donde $1\le i\le n$)

$$\frac{\sum_{1\le r\le n} a_i}n\ge \sqrt[n]{\prod_{ 1\le r\le n}a_i}$$

Answer 3

Amigo. Usted no necesita todas esas cosas de lujo. Sólo emparejar cada una de las $\frac{x_i}{x_{n-i}} + \frac{x_{n-i}}{x_i}$ y examinar cada uno de ellos por separado. Tener en cuenta, incluso $n$ e impares $n$, ya que habrá un impares fracción al $n$ es impar.

Spoiler:

Al $n$ es impar, identificar cuáles son los impares fracción es, entonces su valor será evidente.

Answer 4

SUGERENCIA: Reordenamiento de la desigualdad (http://en.wikipedia.org/wiki/Rearrangement_inequality).

Para algunos de permutación $(i_1,i_2,\cdots,i_n)$$(1,2,\cdots,n)$, el siguiente se tiene: $$x_{i_1}\ge x_{i_2}\ge \dots\ge x_{i_{n-1}}\ge x_{i_n}(>0),$$ $$\frac1{x_{i_n}}\ge \frac1{x_{i_{n-1}}}\ge \dots \ge \frac1{x_{i_2}}\ge \frac1{x_{i_1}}.$$

De ello se deduce a partir del reordenamiento de la desigualdad que $$x_1\cdot \frac1{x_n}+x_2\cdot\frac1{x_{n-1}}+\dots+x_n\cdot\frac1{x_1} \ge x_{i_1}\cdot \frac1{x_{i_1}}+x_{i_2}\cdot\frac1{x_{i_2}}+\dots+x_{i_n}\cdot\frac1{x_{i_n}}=n.$$

Answer 5

(Intuitiva, con un uso oculto de AM-GM)Si $n$ es incluso puede poner junto a las parejas que equidistan de a $n/2$ y, a continuación, $x_i/x_{n+1-i}+x_{n+1-i}/x_i \geq2$ (y tienes $n/2$ de esas parejas); si n es impar es casi el mismo, ya que tendrás una central 1.