Límites de la integración de una función de densidad

Question

Mi pregunta se basa en este post. En resumen, $X \sim \text{Unif}(a,b)$ e $Y|X \sim \text{Unif}(a,X)$. A continuación, el autor hace los siguientes cálculos:

\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}

No estoy seguro de cómo el autor cambia el apoyo de $[a,b]$ a $(a,b)$. El apoyo de $X$ es $[a,b]$ lo $Y$ podría tener el apoyo $[a,a]$ y los límites de la integración debe ir de $a$ a $b$. Sin embargo, esto podría llevar a una divergente integral. En pocas palabras, lo que justifica $a < y < b$ en la última línea?

Answer 1

Ambas densidades implican indicadores de<span class="math-container">$$fX(x)=\mathbb{I}{(a,b)}(x)\big/(b-a)\quad f{Y|X}(y|x)=\mathbb{I}{(a,x)}(y)\big/(x-a)$$and<span class="math-container">$% $ $f{X,Y}(x,y)=\mathbb{I}{(a,b)}(x)\mathbb{I}{(a,x)}(y)\big/b-y)(x-a)$</span>esto implica <span class="math-container">$$\mathbb{I}{(a,b)}(x)\mathbb{I}{(a,x)}(y)=\mathbb{I}{(a,b)}(y)\mathbb{I}{(y,b)}(x)$ $</span>por lo tanto, <span class="math-container">\begin{align}f{X|Y}(x|y)&=\mathbb{I}_{(y,b)}\big/(x-a)\,\left{\inty^b (x-a)^{-1}\,\text{d}x\right}^{-1}\&=\mathbb{I}{(y,b)}\big/(x-a)\,{\log(b-a)-\log(y-a)}^{-1}\end {Alinee el}</span>y <span class="math-container">$$fY(y)=\mathbb{I}{(a,b)}(y)\,{\log(b-a)-\log(y-a)}\big/(b-a)$ $</span></span>