$(x,y)\subset \mathbb Q[x,y]$ no es un ideal principal

Question

Es mi prueba de que $(x,y)\subset \mathbb Q[x,y]$ no es un director ideal correcta?

Supongamos $(x,y)=(f(x,y))$. Desde $x,y\in (x,y)$, el grado de $f$ en $x$ e $y$ (por separado) no puede exceder de 1. Por lo $f(x,y)=ax+by+c$. Desde $x\in (x,y)$, no debe existir $g(x,y)$ tal que $f(x,y)g(x,y)=x$. El único caso en el que esto ocurre es cuando $f(x,y)=ax,\ g(x,y)=1/a$. Por lo $b=c=0$. Desde $y\in (x,y)$, $a=c=0$. Por lo tanto $f(x,y)=0$. Pero $(x,y)$ no es el cero ideal, una contradicción.

Answer 1

La prueba está casi bien, sólo se necesita un par de detalles. Pero usted complicar las cosas.

Considere la posibilidad de $f(x,y)g(x,y)=x$ como una igualdad entre polinomios en $y$ sobre $\mathbb{Q}[x]$. Como este tiene un grado $0$tanto $f$ e $g$ debe tener grado $0$. Por lo tanto $b=0$. Del mismo modo, $a=0$.

Por lo tanto, $f(x,y)=c$, lo que genera todo el anillo o el cero ideal. Por otro lado, $(x,y)$ es un valor distinto de cero adecuada ideal, como $\mathbb{Q}[x,y]/(x,y)\cong\mathbb{Q}$.

Answer 2

Su bonito mucho allí, pero creo que un poco más se necesita, por ejemplo:

"El único evento en el cual esto sucede es cuando <span class="math-container">$f(x,y)=ax, g(x,y)=1/a$</span>"

¿podríamos tener también derecho al revés? Por ejemplo <span class="math-container">$f(x,y) = 1$</span> <span class="math-container">$g(x,y) = x$</span>. Se debe decir también por qué esto no puede suceder!

Answer 3

En la segunda Alex J Mejor comentario acerca un poco a prueba de revisión, pero también creo que vale la pena señalar que esto tiene en $R[x,y]$ para $R$ cualquier anillo conmutativo con identidad. Por lo $\mathbb{Q}$ no es especial en este sentido. La prueba continuará su trabajo por cualquier integrante de dominio. Pero si $R$ tiene divisores de cero, no se puede decir inmediatamente que $f$ tiene el grado $1$, y la prueba es un poco más complicado.

Usted puede intentar probar lo siguiente para un general anillo de $R$

$f \in R[x,y]$ divide $x$ e $y$ fib $f$ es una unidad

Esto implica inmediatamente que $(x,y)$ no es principal. Puedo incluir una prueba de dibujo en el spoiler de abajo si usted está interesado. Como su prueba, en su mayoría consiste en la comparación de los coeficientes.

Prueba: Escribir $fg = x$ e $fh = y$. Deje $f_x, f_y$ e $f_0$ denotethe $x$ coeficiente, $y$ coeficiente, y el coeficiente constante de $f$. Primero podemos ver que $f_0$ es una unidad. Supongamos que no es el caso. Mirando a $1 = f_0g_x + f_xg_0$ e $0 = f_0 g_y + f_y g_0$ modulo $(f_0)$, podemos deducir $f_x \notin (f_0), f_y \in (f_0)$. Pero del mismo modo podríamos hacer lo mismo con $fh = y$ a deducir $f_y \notin (f_0), f_x \in (f_0)$. Juntas, estas rendimiento de una contradicción, por lo que la conclusión de $f_0$ es una unidad.

Ahora, sabiendo que $f_0$ es una unidad, comparar los coeficientes en $fg = x$ a ver que $g \in R[x]$, y de manera similar a $h \in R[y]$. Considerando $fg = 0 \text{ mod } x$ vemos que $x$ divide $g$, y de manera similar a $y$ divide $h$, lo que nos da la ecuación de $yg = xh$. La comparación de los coeficientes en $yg = xh$ finalmente vemos a$g = x$ e $h = y$ a de la unidad de múltiplos. De ello se desprende que $f$ es una unidad.