De la pregunta 46 de Elementos de Álgebra Abstracta $\beta$ :
Demuestre que un subgrupo H de un grupo G es normal si y sólo si ab $\in$ H implica $a^{-1}b^{-1}\in$ H para cualquier elemento a,b $\in$ G
Mostrar de izquierda a derecha es fácil: Sea H normal y elija ab $\in$ H. Conjugado por $b^{-1}$ entonces por $a^{-1}$ y se obtiene $a^{-1}b^{-1}\in$ H
No estoy seguro de cómo ir en otra dirección: Supongamos que ab $\in$ H implica $a^{-1}b^{-1}\in$ H para cualquier elemento a,b $\in$ G y elija $h \in H$ y $g \in G$ . Necesidad de mostrar $ghg^{-1} \in H$ pero no estoy seguro de cómo proceder. Agradecería que alguien me diera una pista. ¿Puedo suponer $gh \in H$ y por lo tanto $g^{-1}h^{-1} \in H$ ? ¿Acaso eso ayudaría?
Nota: Hay otras respuestas en el foro que muestran que la normalidad implica $ab \in H \therefore ba \in H$ . Evidentemente, si se demuestra esto, lo anterior es una simple consecuencia. Esperaba demostrarlo directamente.
