Área de intersección entre dos círculos

Question

Suponga que tiene 2 círculos que se intersecan de tal manera que cada círculo pasa por el centro del otro. ¿Cuál es el área entre los círculos (o área común), es decir, el área entre los centros de los círculos?

Answer 1

Etiqueta el centro del primer círculo $C$ y el centro del segundo círculo $C'$. Etiqueta uno de los puntos de intersección de los dos círculos $A$ y el otro $B$. Deja que el radio de los círculos sea $r>0$. Debe quedar claro que las siguientes longitudes son todas iguales a $r$. $AC$, $AC'$, $BC$, $BC'$, $CC'$. Con una simple aplicación del teorema de Pitágoras, obtenemos que la longitud del segmento de línea $AB$ es $\sqrt{3}r$.

Con algo de trigonometría básica, encontramos los ángulos $\angle ACB=\angle AC'B=\dfrac{2\pi}{3}$. Así, el área de la mitad de la intersección es el área de un segmento circular con un ángulo $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ y radio $r$, lo que da un área de $\dfrac{r^2}{2}(\theta-\sin\theta)=\dfrac{r^2}{2}\left(\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ y así el área de toda la intersección es el doble de esto. Esto da un área de $$r^2\left(\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$$

Answer 2

Podemos construir un triángulo equilátero entre los puntos, cuya longitud del lado es $r$:

_{<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Equilateral_triangle" rel="nofollow noreferrer">fuente de la imagen</a>}

Entonces sabemos que los puntos de intersección están separados por $\sqrt{3}r$, y el ángulo en ellos es de $60^\circ$, al construir un rombo entre los puntos y los centros sabemos que el ángulo que "abre" el área es de $120^\circ`:

Ahora podemos calcular la mitad del área en cuestión como un segmento circular:

$$S=2\left[\frac{r^2}{2}\left(\frac{2\pi}{3}-\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)\right]=r^2\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

_{$S$ es el área total en cuestión}

Answer 3

Aprovecho la simetría del problema

Answer 4

El ángulo entre los puntos de intersección es $2 \pi / 3$, por lo que es: $$ 2 r^2 \cdot \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $$

Answer 5

Un enfoque es establecer una función booleana $f$ como

$$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{si } x^2+y^2

Entonces el área se puede expresar como

$$\int_0^r \int_{-r}^r f(x,y) \, dx \, dy.$$

Aquí tienes cómo hacer este cálculo en Mathematica.

Integrate[
  Boole[x^2 + y^2 < r^2 && (x - r)^2 + y^2 < r^2], 
 {x, 0, r}, {y, -r, r}, 
 Assumptions -> r > 0
]

(* Out: -((3*Sqrt[3] - 4*Pi)*r^2)/6 *)