Supuesto método de integración: "dividir largamente" por $d$

Question

Me encontré con este método de integración aparentemente interesante, pero mal ejemplificado:

Como la integración es la inversa de la diferenciación, se puede pensar en la integración como "dividir" entre $d$ .

J. P. Ballantine [1] demuestra que se puede dividir formalmente por $d$ y obtener la integral correcta. Por ejemplo, llega a $$\int x^2 \sin x\,dx=(2-x^2)\cos x + 2x\sin x + C$$ ¡usando la división larga!

1] J. P. Ballantine. Integration by Long Division. The American Mathematical Monthly, Vol. 58, No. 2 (Feb., 1951), pp. 104-105

Sin duda, la afirmación de que esto es riguroso es cuestionable. Sin embargo, sería fascinante entender cómo se sigue este método y tal vez incluso entender por qué funciona; el ejemplo no tiene ninguna explicación, y no puedo juntar los pasos mediante ingeniería inversa.

¿Podría alguien arrojar algo de luz sobre esta técnica?

adición: Un ejemplo adicional realmente completaría la respuesta perfecta $\ddot\smile$

Answer 1

He conseguido hacer "ingeniería inversa" de los pasos y voy a repasarlos para ti.

Primero, escriba la función que desea integrar a la izquierda

$$x^2 \sin x\ dx$$

Ahora encuentra una función tal que, al diferenciarla, la $x^2 \sin x$ aparece. ¡Ah! Cuando se diferencia $-x^2 \cos x$ se obtiene $x^2 \sin x - 2x \cos x$ , por lo que tiene la parte que quieres y la otra parte parece "más pequeña" en el sentido de "grado" o algo así. Simplemente escriba eso $-x^2 \cos x$ en el lado, diferenciarlo y restar la derivada, obteniendo:

Ahora es como si hubiéramos encontrado una antiderivada para la función que queremos integrar, pero al hacerlo tenemos el término extra $2x \cos x$ que tenemos que cancelar... Piensa en algo que, al diferenciarse, llegue a $-2x \cos x$ ... ¡Ah! Cuando se diferencia $2x \sin x$ , se obtiene el $2x \cos x$ y un extra $2 \sin x$ . Escriba el $2x \sin x$ a la derecha, diferéncialo, y réstalo de lo que tenías, obteniendo:

y tú sigues adelante. La cuestión es que siempre estás intentando dar con algo (en cierto sentido, más pequeño) que contrarreste las sobras que tienes de encontrar los antiderivados de los otros términos.

¿Fui lo suficientemente claro?

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Integremos $x \log x$ sólo por diversión. ¿Se te ocurre algo que, al diferenciarlo, dé $x \log x + $ ¿algo? Por supuesto que puedes, sólo fíjate que $(\frac12x^2\log x)' = x\log x + \frac12 x$

Así que ahora tenemos que lidiar con el extra $-\frac12 x$ .

¿Puede usted venir con algo que cancela que $-\frac12 x$ ? Claro que sí, porque $-\frac14 x^2$ ¡lo hace! Ahora tenemos

$$0$$

lo que significa que hemos terminado y

$$\int x \log x = \frac12 x^2 \log x - \frac14 x^2 + C$$