Si $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, sabemos que $$A=\{\{n\alpha\} \:|\: n\in\mathbb{N}\}$$ es denso en $[0,1)$. Hay no trivial de subconjuntos de a$A$ que son todavía densa en $[0,1)$? Por no trivial, me refiero a un subconjunto que no es $$\{\{kn\alpha\} \:|\: n\in\mathbb{N}\}$$ para algunos $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$. Por ejemplo, es $$\{\{2^n\alpha\} \:|\: n\in\mathbb{N}\}$$ denso en $[0,1)$?
Respuesta
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Para $\left\{\{2^n \alpha\} \mid n\in\mathbb{N}\right\}$, depende de a $\alpha$. Por simplicidad, asumimos $0<\alpha<1$, debido a que $$\alpha=\left \lfloor \alpha \right \rfloor + \{\alpha\} \Rightarrow 2^n \alpha=2^n \left \lfloor \alpha \right \rfloor + 2^n\{\alpha\} \Rightarrow \left\{2^n \alpha\right\}=\left\{2^n \{\alpha\}\right\}$$ También, podemos suponer $\alpha=\left(0.a_1a_2a_3...\right)_2, a_i\in\{0,1\}$ en base $2$. Luego multiplicando por $2^n$ simplemente desplaza los bits a la izquierda por $n$ o $$\left\{2^n \alpha\right\}=\left(0.a_{n+1}a_{n+2}...\right)_2$$ Ahora, echemos un vistazo a los binarios de Liouville constante, que es un número trascendental $$\alpha=\sum\limits_{k=1}\frac{1}{2^{k!}}$$ y $$1=\frac{1}{2} \cdot 2= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}= \frac{1}{2}\cdot \left(1+\sum\limits_{k=1}\frac{1}{2^k}\right)= \frac{1}{2} + \sum\limits_{k=2}\frac{1}{2^k}= \sum\limits_{k=1}\frac{1}{2^k}$$ entonces $$\Delta=\left|1-\left\{2^n \alpha\right\} \right|= \left|\sum\limits_{k=1}\frac{1}{2^k} - \left\{2^n\sum\limits_{k=1}\frac{1}{2^{k!}}\right\}\right|= \left|\sum\limits_{k=1}\frac{1}{2^k} - \left\{\sum\limits_{k=1}\frac{1}{2^{k!-n}}\right\}\right|=\\ \left|\sum\limits_{k=1}\frac{1}{2^k} - \sum\limits_{k!>n}\frac{1}{2^{k!-n}}\right|=...$$ o tomemos nota por $k_0$ la primera de $k$'s tal que $k!>n$, entonces (todavía la base de $2$) $$\begin{array}{c|c|c|c} \text{pos} & 0 & . & 1 & 2 & ... & k_0!-n-1 & k_0!-n & k_0!-n+1 & ... \\ \hline 1 & 0 & \text{,} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & ... \\ \hline \{2^n\alpha\} & 0 & \text{,} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & ... \\ \hline \Delta & 0 & \text{,} & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & ... \\ \hline \end{array}$$ y $$...=\left|\sum\limits_{k=1}^{k_0!-n-1}\frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k_0!-n+1}}+...\right|> \sum\limits_{k=1}^{k_0!-n-1}\frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k_0!-n+1}} \etiqueta{1}$$ Ahora
- si $k_0!-n=1$, luego de $(1) \Rightarrow \Delta > \frac{1}{2^2}$
- si $k_0!-n>1$, luego de $(1) \Rightarrow \Delta > \frac{1}{2}$
Como resultado $\Delta > \frac{1}{2^3}$ (para el caso cuando $n=0$ desde $\alpha=\left(0.110...\right)_2$). Así, $\left\{\{2^n\alpha\} \mid n\in\mathbb{N}\right\}$ nunca va a estar lo suficientemente cerca de a $1$ y por lo tanto, no ser denso en $[0,1)$ para $\alpha$ - binario de Liouville constante.
