Cómo resolver $\int_0^\infty \left(\sqrt{1-\gamma(t)}e^{c\gamma(t)}-1\right)dt$ , donde $\gamma(t) = \frac{e^{-at}}{b+e^{-at}}$ ?

Question

$$\int_0^\infty \left(\sqrt{1-\gamma(t)}e^{c\gamma(t)}-1\right)dt,$$ donde $$\gamma(t) = \frac{e^{-at}}{b+e^{-at}}.$$

Estaré encantado si alguien puede ayudarme con esto. Ya he probado algunas sustituciones obvias, sin éxito por supuesto. Prefiero tener un resultado exacto, sin embargo, si esto sólo se puede resolver de forma aproximada lo ideal sería tener una expansión en $b$ .

Answer 1

Supongamos que $b$ es pequeño, quiero el término principal.
Dejemos que $v=\exp(-at)/b$ para conseguir

$$ \frac 1a\int_0^{1/b}\left[\sqrt{\frac1{1+v}}\exp(\frac{cv}{1+v})-1\right] \frac{dv}v$$

La función está acotada en $v=0$ y el término principal es $O(v^{-3/2})$ para grandes $v$ . Así que la parte dominante de la integral es $ \int \frac{-1}v dv$ para grandes $v$ cerca de $v=1/b$ y eso da $\log b$ .

Así que creo que el término dominante es $(\log b)/a$

El siguiente término sería $f(c)/a$ donde $$f(c)/a=\frac1a\int_0^1[g(c,v)-1]\frac{dv}v+\frac1a\int_1^\infty g(c,v)\frac{dv}v$$ y después un término de corrección $$\frac1a\int_{1/b}^\infty g(c,v)\frac{dv}v$$ que es aproximadamente $2\sqrt{b}\exp(c)/a$