Estoy tomando un curso de introducción a la topología y el profesor define topológico, colector de dimensión $n$ si es hausdorff y si para cada punto de $x$ existe un conjunto abierto $U$ $x$ tal que $U$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^n$. Mi pregunta es: Por la forma en que ella lo define, uno podría tener (apriori) un espacio topológico $X$ siendo un colector de dimensiones $n$$m$? Lo que significa que me podría encontrar conjuntos de $U$ $V$ cada $x$ $U$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^n$ $V$ es homeomórficos a $\mathbb{R}^m$, y esto haría que la noción de dimensión no está bien definido. Mi conjetura es que como es llamado "topológico colector de dimensión $n$" lo que he descrito, probablemente cant suceder, pero yo no veo por qué no.
Respuestas
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Estás en lo correcto.
Hay varias maneras de demostrar que es imposible, y que básicamente se reduce al hecho de que ningún subconjunto abierto de ${\bf R}^n$ es homeomórficos a un subconjunto abierto de ${\bf R}^m$ si $n<m$ ($U\cap V$ sería en su caso). Se puede suponer sin pérdida de generalidad que los conjuntos en cuestión están conectados.
Una manera de hacerlo es mostrar a utilizar el hecho de que usted puede encontrar una $(n-1)$-dimensiones de la esfera que se desconecta cualquier subconjunto abierto de ${\bf R}^n$, pero es un hecho general de que si un conjunto compacto desconecta ${\bf R}^m$, entonces se debe admitir un no-nullhomotopic mapa en $S^{m-1}$ (de hecho, es un equivalente de la condición), mientras que en el otro lado, no hay una adecuada subconjunto compacto de $S^{m-1}$ admite tal mapa.
Así que, en resumen, un conjunto homeomórficos a $S^{n-1}$ no se puede desconectar a un subconjunto abierto de ${\bf R}^m$ si $m>n$ y hemos terminado.
(Los resultados pueden ser mostrados por la combinatoria o topología algebraica, pero no son lo suficientemente simple para mostrar aquí.)
Amitesh Datta
Puntos
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Usted puede utilizar el local de la homología de grupos para resolver este problema. Si $X$ es un espacio topológico y si $x\in X$, en el local de la homología de grupos de $X$ $x$ son definidos por la regla de $H_i^{\text{local}}(X,x)=H_i(X,X-x)$, donde el lado derecho indica la relación de homología de grupos de $X$ en relación al $X-x$.
Ejercicio 1: Probar que si $X$ $n$- colector, luego el local de la homología de grupos de $X$ está de acuerdo con la homología de un $n$-esfera. (Sugerencia: use la escisión de reducir a la computación en la homología de un $n$-ball relación a su límite, una $(n-1)$-esfera.)
Ejercicio 2: Demostrar que la dimensión de la conexión de un topológico colector es un invariante.
Ejercicio 3: ¿Qué se puede decir acerca de los colectores con el límite?
Espero que esto ayude! Por supuesto, tomasz la respuesta y los comentarios son excelentes y la dirección de la pregunta de otra manera.
