¿Cómo puedo describir la componente vertical de la trayectoria de una pelota de malabares con una onda sinusoidal?

Question

Hago malabares y luego sigo las bolas de malabares.

Quiero describir este truco de malabarismo utilizando ondas sinusoidales. Se utilizó un metrónomo para que los lanzamientos fueran periódicos. El vídeo es de 120 fps, por lo que hay 120 observaciones por segundo. Los valores Y corresponden a la ubicación de la pelota en la imagen. El vídeo tiene 800 píxeles, por lo que los valores Y oscilan entre 200 y 600 aproximadamente. Este es un gráfico de ( los datos ):

Utilizando este Script Python/OpenCV fue capaz de ajustar manualmente una onda sinusoidal a los datos. La línea azul gruesa son los datos de origen. La línea verde gruesa es la onda sinusoidal ajustada manualmente, que se compone de las dos curvas sinusoidales más finas:

Por el ajuste manual de la onda sinusoidal, sé que esta función es la suma de dos ondas sinusoidales. El período de la onda más larga es el doble del período de la onda más corta. Una FFT parece confirmar esto:

En conclusión, puedo describir estos datos ajustando manualmente (visualmente) una curva sinusoidal. Me gustaría utilizar un método matemático y estadístico para ajustar una curva sinusoidal a estos datos.

Los datos que utilicé en este ejemplo eran bastante sencillos, pero los trucos de malabarismo pueden ser más complicados:

Answer 1

Mientras la bola está en movimiento libre su órbita es una parábola: la componente horizontal es lineal en el tiempo, y la componente vertical cuadrática durante cada intervalo de vuelo libre por separado. Pero durante el tiempo que tiene la pelota en sus manos no tenemos ningún control matemático de los acontecimientos. En cualquier caso, resulta un proceso periódico cuyo período $T$ que define por sus acciones. Tal proceso puede ser analizado por Fourier, y se obtienen expansiones de la forma
$$x(t)={a_0\over2}+\sum_{k=1}^\infty \left(a_k\cos{2k\pi t\over T}+b_k\sin{2k\pi t\over T}\right)\ ,\tag{1}$$ y de forma similar para $t\mapsto y(t)$ . Como malabarista experimentado se intenta que el proceso sea lo más "armónico" posible, y esto se traduce en una rápida disminución de los coeficientes $|a_k|$ y $|b_k|$ para que en $(1)$ Sólo los dos o tres primeros términos desempeñan realmente un papel.