Es el siguiente conjunto denso en$L^2$?

Question

Últimamente me estaba hablando con un amigo mío y nos encontramos con la siguiente pregunta

Denotar por $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los reales valores de funciones polinómicas. Es el conjunto $$ \{ p(x) e^{- \alpha \vert x \vert} \ : \ p\in \mathcal{P}, \ \alpha \in \mathbb{R}_{>0} \} $$ denso en $L^2(\mathbb{R} ,\mathbb{R})?$

Mi sensación es que debe ser cierto. Yo estaba pensando en usar el Stone-Weierstrass, sin embargo, no puedo controlar el $L^2$-norma de la función polinómica fuera del conjunto compacto. Claramente es finito (el decaimiento exponencial supera el polinomio de crecimiento), pero no me queda claro si uno puede elegir para ser pequeño.

Answer 1

Sí, la respuesta es afirmativa. Es equivalente a

$\{p(x)e^{-|x|} : p\in\mathcal{P}\}$ es denso en $L_2(\Bbb{R},\Bbb{R})$.

En nuestro contexto de Hilbert espacios, tenemos que mostrar que $$L_0 = \left\{f\in L_2(\Bbb{R}) : (\forall n\in\Bbb{Z}_{\geq 0})\ \int_{\Bbb{R}}x^n e^{-|x|}f(x)\,dx=0\right\}$$ consta de $f\equiv 0$ solamente. Aquí y a continuación, todas las funciones son valores complejos.

Deje $\Lambda=\{\lambda\in\Bbb{C} : |\Re\lambda|<1\}$; $f\in L_2(\Bbb{R})$, la función $$B_f(\lambda)=\int_{\Bbb{R}}e^{-|x|+\lambda x}f(x)\,dx$$ es analítica en $\Lambda$ (diferenciación es admisible bajo el signo integral). Además, para cualquier $n\in\Bbb{Z}_{\geq 0}$ tenemos $B_f^{(n)}(0)=\displaystyle\int_{\Bbb{R}}x^n e^{-|x|}f(x)\,dx$ y, por lo tanto, $f\in L_0$ si y sólo si $B_f\equiv 0$.

Ahora vamos a $f\in L_0$ e $g\in L_1(\Bbb{R})$ (fixme... mucho menos es suficiente). Entonces $$0=\int_{\Bbb{R}}g(\lambda)B_f(i\lambda)\,d\lambda=\int_{\Bbb{R}}e^{-|x|}\hat{g}(x)f(x)\,dx,\quad\hat{g}(x)=\int_{\Bbb{R}}e^{i\lambda x}g(\lambda)\,d\lambda.$$ Por lo tanto, $e^{-|x|}f(x)$ es ortogonal a $\{\hat{g} : g\in L_1(\Bbb{R})\}$. Este espacio es denso en $L_2(\Bbb{R})$ debido a que, por ejemplo, contiene todas continua a trozos lineal finita de funciones obtenidas a partir de $$\hat{g}_0(x) = \max\{0,1-|x|\} \impliedby g_0(\lambda)=\frac{2}{\pi}\left(\frac{\sin\lambda/2}{\lambda}\right)^2$$ el uso de combinaciones lineales y turnos; $\hat{g}_1(x)=\hat{g}(x+a)\impliedby g_1(\lambda)=e^{i\lambda a}g(\lambda)$.

(Estoy seguro de que he duplicado algunos hechos conocidos acerca de la integral se transforma. Por lo tanto, podría ser buena para reemplazar algunas partes de la anterior con referencias a estos...)