Cómo integrar $\int_{0}^{2} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}}\,dx$ ?

Question

Quiero integrar esto $$\int_{0}^{2} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}}\,dx$$

Intenté hacer la sustitución $u^2=x+u$ y mi integral se convierte en

$$\int_{0}^{2}u(2u-1)\,du = \frac{10}{3}$$

Sin embargo, se supone que la respuesta es $\dfrac{19}{6}$ Me gustaría saber en qué me estoy equivocando o de qué otra manera

Answer 1

Dejemos que $L(x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}$ .

$L(x)^2=x+L(x)$ Por lo tanto, $L(x)^2-L(x)-x=0$ y $L(x)=\frac{1\pm\sqrt{1+4x}}{2}$ .

Porque $L(x)\ge0$ , $L(x)=\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}$ y luego el intergallo es sencillo.

Answer 2

Su enfoque está bien. Sólo ten en cuenta que $x(u)=u^2-u$ mapas $[1,2]$ en $[0,2]$ y, por tanto, tras la sustitución, el límite inferior de integración es $1$ . Por lo tanto, $$\int_{0}^{2} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}}dx=\int_{1}^{2}u(2u-1)du=\frac{19}{6}.$$

Answer 3

Una pista:

resolver las dos ecuaciones para encontrar los nuevos límites de integración( utilizar la $u^2-u=x$ ) $$u^2-u=0$$ y $$u^2-u=2$$