¿Hay un integral $\frac{1}{\zeta(3)} $?

Question

Hay muchos integral representaciones de $\zeta(3)$

Algunos menos conocidos son, por ejemplo :

$$\int_0^1\frac{x(1-x)}{\sin\pi x}\text{d}x= 7\frac{\zeta(3)}{\pi^3} $$

$$\int_0^1 \frac{\operatorname{li}(x)^3 \space (x-1)}{x^3} \text{d}x = \frac{\zeta(3)}{4} $$

$$\int_0^\pi x(\pi - x) \csc(x) \space \text{d}x = 7 \space \zeta(3) $$

$$ \int_0^{\infty} \frac{\tanh^2(x)}{x^2} \text{d}x = \frac{ 14 \space \zeta(3)}{\pi^2} $$

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \log\tan x \;\text{d}x=\frac{7}{8}\zeta(3)$$

$\zeta(2) $ también tiene muchos integral de las representaciones como $ \frac{1}{\zeta(2)} $ , aunque esta probabilidad es debido a que $\frac{1}{\pi}$ e $\frac{1}{\pi^2} $ tienen muchos. También sospecho que porque sé que hay simple expresión integral para $\frac{1}{\zeta(3)} $.

Mi pregunta es: ¿hay alguna interesante integral de la $^*$ , cuyo resultado es, simplemente, $\frac{1}{\zeta(3)}$?

Nota

$^*$ Interesante integral significa que cosas como

$$\int\limits_0^{+\infty} e^{- \zeta(3) \space x}\ \text{d}x = \frac{1}{\zeta(3)} $$

no son una buena respuesta a mi pregunta.

Answer 1

Se puede encontrar una representación integral similar a la de la función zeta regular mediante la función de mobius. <span class="math-container">$$\Gamma(s)\frac{\mu(n)}{n^s}=\int_0^\infty x^{s-1}\mu(n)e^{-nx}dx$$</span>

Resumen sobre ambos lados obtenemos <span class="math-container">$$\frac{\Gamma(s)}{\zeta(s)}=\int_0^\infty x^{s-1}\rho(x)dx$ $</span>

donde <span class="math-container">$\rho(x)=\sum_{n=1}^\infty \mu(n)e^{-nx}$</span>. Sin embargo, no creo que el <span class="math-container">$\rho(x)$</span> tiene una expresión en forma cerrada.