irreductibilidad de un polinomio en varias variables sobre CUALQUIER campo

Question

El irreeducibility de un polinomio $f\!\in\!K[x_1,\ldots,x_n]$, en general, depende de lo que el campo de $K$ es (por ejemplo, si $K=\mathbb{R}$, $f=x_1^2+1$ es irreducible, pero si $K=\mathbb{C}$, no es).

Sin embargo, cuando se $n\geq2$, existen polinomios que son irreductibles no importa lo $K$ es (por ejemplo, $x_i-x_j^d$ donde $d\in\mathbb{N}$ es arbitrario y $i\neq j$, es siempre irreductible).

Pregunta: ¿hay un comando en cualquier sistema de álgebra computacional (preferiblemente en SINGULAR), que podría (en algunos casos) confirmar si un polinomio es irreducible sobre cualquier campo?

Por ejemplo, en Un Singular Introducción al Álgebra Conmutativa, página 222, de ahí que está escrito: Ya que no hay mención de que el cociente de campo $Q(A)$, esto significa $A$ es un dominio, es decir, $x^4+6x^2y-y^3$ es irreductible.

Pregunta: ¿Cómo puedo demostrar que $x^4+6x^2y-y^3$ es irreducible sobre cualquier $K$?

Answer 1

Contestaré a tu segunda pregunta, ya que creo que la primera es fuera de tema.

Como sabes que hay un isomorfismo como el subrayado en rojo en tu imagen, sabes que el cociente$A$ de$K[x,y]$ por el ideal generado por tu polinomio es isomorfo a un subring de$K[t]$.

Cada subring de$K[t]$ es un dominio, el anillo$A$ es en sí mismo un dominio y su polinomio irreducible.

Answer 2

Permítanme mostrar en un ser humano(e) forma en que $f(y)=y^3-6x^2y-x^4=-\text {(your polynomial)} \quad $ es irreducible sobre $K$.

Deje $A=K[x]$$L=Frac(A)=K(x)$.
Tenemos que probar que $f(y)\in K[x,y]=A[y]$ es irreductible, o, equivalentemente, [desde $f(y)$ es monic] que $f(y)$ es irreducible sobre $L$ o [desde $f(y)$ tiene el grado $3$] que $f(y)$ no tiene raíz en $L=K(x)$.
Sin embargo , por la normalidad de $A=K[x]$, una raíz tendría que ser en $A$ y además se dividen $-x^4$. Ya que, obviamente, no hay tales raíz existe, $f(y)$ es irreductible como un polinomio en $A[y]$, $L[y]$ o (como originalmente se requiere)$K[x,y]$.

Answer 3

Esta es una variación menor de Georges de la respuesta. Supongamos por contradicción que $y^3-6x^2y-x^4$ es reducible en $K[x,y]$. A continuación, necesariamente, han $$ y^3-6x^2y-x^4=\Big(y-f(x)\Big)\Big(y^2+g(x)\, y+h(x)\Big) $$ para algunos $f(x),g(x),h(x)$$K[x]$. Esto implica, en particular,$x^4=f(x)\,h(x)$. Por lo tanto $f(x)=a\, x^n$$0\le n\le4$$a\in K^\times$, y fácilmente la regla de los cinco "posible" valores de $n$.

(Yo upvoted los otros tres postes).

EDIT. Con el fin de demostrar que el $y^3-6x^2y-x^4$ es irreducible en a $K[x,y]$, es suficiente para asumir que $K$ es un dominio. De hecho, en el argumento anterior, sólo necesitamos saber que (hasta de la asociación) $$ x^4=x\cdot x\cdot x\cdot x $$ es la única descomposición de $x^4$ como producto de irreducibles en $K[x]$.