matrices similares sobre$\mathbb{Z}$

Question

Deje que$A,B$ sea$2\times 2$ matrices sobre$\mathbb{Z}$. Supongamos que$x^2+x+1$ es el polinomio característico para ambos$A,B$. Determine si$A,B$ son similares entre sí sobre$\mathbb{Z}$. ¿Cómo resolver?

Answer 1

La respuesta es que tales matrices son siempre similares sobre $\def\Z{\Bbb Z}\Z$ (conjugado en $GL_2(\Bbb Z)$). La cuestión es más profunda, sin embargo de lo que podría parecer a primera, y tan lejos como puedo ver cualquier solución requiere algo de algo sutil aritmética consideraciones. Algunas cosas son fáciles: $A,B$ siempre han determinante$~1$ (a partir de la constante de los coeficientes del polinomio característico), el polinomio mínimo ($\def\Q{\Bbb Q}~\Q$) igual al polinomio característico (como es la plaza libre) y el fin de$~3$ (debido a la mínima polinomio se divide $x^3-1$); las matrices también han traza$~{-}1$, pero no estoy seguro de que es una información muy útil en sí mismo. Con una mínima y características de los polinomios tanto igual a $x^2+x+1$, las dos matrices y son similares sobre$~\Q$ al compañero de la matriz de $x^2+x+1$, y por lo tanto a cada uno de los otros. La principal dificultad está demostrando similitud$~\Z$, que es una condición más restrictiva.

Ejemplos obvios de tales matrices son el compañero de la matriz de $x^2+x+1$ y su transpuesta: $$ \begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad \begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}. $$ Estas matrices son conjugada por la diagonal de la matriz diagonal con entradas de $1,-1$, pero no son conjugar dentro de $SL_2(\Z)$ (por lo que uno tenía mejor no tratar de probar que la declaración más fuerte). Dado que no existen vectores propios$~\Q$, cualquier vector distinto de cero$~v$ junto con $A\cdot v$ formas un $\Q$-base, con respecto a la cual la matriz da el compañero de arriba de la matriz. La dificultad es mostrar la existencia de un vector de $v\in\Z^2$ tal que $(v,A\cdot v)$ $\Z$- base para $\Z^2$.

Dos de los enfoques de la estructura de la teoría son posibles. Uno, la cual tomé yo de esta respuesta a un pregunta similar, utiliza la estructura conocida de $SL(2,\Z)$ como producto amalgamado $SL_2(\Z)\cong\Z/4*_{\Z/2}\Z/6$, y el hecho de que en un producto, los únicos elementos finitos de orden son aquellas que se conjugado a los elementos de la amalgama de grupos. Así, cada elemento de orden $3$ $SL_2(\Z)$ es conjugado en este grupo a uno de los dos elementos de orden $3$ en el factor de $\Z/6$, y, por tanto, una de las matrices anteriores (cada uno de los cuales es fácilmente visto para ser conjugado en $SL_2(\Z)$ a la plaza de los otros). Esto implica que $A$ $B$ son conjugado en $GL(2,\Z)$, y por lo tanto similar en la$~\Z$.

Otro enfoque, que tomé de esta respuesta, es el uso de la teoría de la estructura de los módulos a través de un PID. Cada matriz de la especie hace que $\Z^2$ a una $\Z[X]$ módulo en el que $X^2+X+1$ actúa como$~0$, y por lo tanto en un $\Z[X]/(X^2+X+1)$-módulo. Ahora $R=\Z[X]/(X^2+X+1)$ es conocido por ser un dominio Euclídeo (el de los enteros de Eisenstein) y, por tanto, un PID. Ya que cualquier valor distinto de cero ideal de $R$ intersecta $\Z$ trivial, nuestro módulo no puede tener factores de $R/I$$I\neq(0)$. Así que estamos buscando a un módulo de isomorfo a $R^n$, y a partir de la fila$~2$$~\Z$ es obvio que $n=1$. Pero tomando las $v$ a ser un generador del módulo a través de$~R$, los vectores $v,A\cdot v$ formulario de la base de que el módulo se considera más de$~\Z$, como se desee.

Yo prefiero el segundo argumento. El mismo razonamiento se da la siguiente declaración más general:

Si una $n\times n$ matriz$~A$$~\Z$ tiene un mínimo de polinomio $P=X^2+X+1$, $n$ es incluso y $A$ es similar en la$~\Z$ para el bloque de matriz diagonal con $n/2$ bloques iguales para el compañero de la matriz de$~P$.

Lo mismo es cierto para $P=X^2-X+1$$P=X^2+1$. Se produce un error (incluso cuando $n=2$) $P=X^2-1$ (creo $(\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix})$). También uno puede, por supuesto, en cualquier caso (con $n>2$) debilitar la hipótesis a la condición de que el polinomio característico es $P^{n/2}$, ya que la mayoría de las matrices con las que el polinomio característico no son diagonalisable (a través de la división de campo de la$~P$).

Answer 2

Bueno, si conoce el polinomio característico, conoce la traza ($-1$) y el determinante ($1$), por lo que debería poder escribir la matriz general utilizando dos incógnitas (enteras) [por ejemplo , si la entrada$1, 1$ es$a$, entonces la entrada$2, 2$ es$-1-a$). Ahora, tiene sus dos matrices posibles$M_1$ y$M_2.$ siendo similares, significa que existe una matriz$Q$ tal que$M_1 Q = Q M_2,$, que es un sistema de ecuaciones diofánticas lineales. O tiene siempre una solución o no.

Answer 3

Edit: no entendí la pregunta. Si sólo desea determinar si algunas de par en particular de las matrices de $(A,B)$ son similares el uno al otro, se deberán resolver las dos ecuaciones $PA=BP$$|\det P|=1$. Usted puede encontrar Dario Alpern en línea de solver útil.

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(Mi respuesta original.) $x^2+x+1$ es el polinomio característico de a $A=\pmatrix{a&b\\ c&d}$ si y sólo si $\operatorname{tr}A=-1$$\det A=1$, es decir, iff $d=-a-1$$bc=-(a^2+a+1)$. En particular, $A_0=\pmatrix{0&-1\\ 1&-1}$ es una solución de la ecuación característica. Así, la cuestión se reduce a determinar si $A$ es siempre similar a $A_0$ siempre $d=-a-1$$bc=-(a^2+a+1)$. Gauss eliminaciones muestran que el rango de la $4\times4$ matriz $T=A^\top\otimes I_4-I\otimes A_0$ es 2 y la solución general a $PA=A_0P$ está dado por $$P=\pmatrix{-dz+cw&bz-aw\\ z&w}.$$ Así, todas las matrices de enteros con polinomio característico $x^2+x+1$ son similares a otras a lo largo de $\mathbb{Z}$ si y sólo si, la ecuación $$ |\det P|=|cw^2+(2a+1)zw-bz^2|=1\etiqueta{1} $$ tiene un entero solución de $(z,w)$ siempre $bc=-(a^2+a+1)$. No estoy seguro de que, aunque, si $(1)$ siempre es solucionable. Número de teóricos debe saber esto mejor.