Composiciones de filtros en las uniones finitas de productos cartesianos

Question

Deje $\Gamma$ ser el entramado de todos finito sindicatos de productos Cartesianos $A\times B$ de dos arbitraria de conjuntos de $A,B\subseteq U$ algunas $U$. Ver esta nota para otras formas equivalentes para describir el conjunto de $\Gamma$: http://www.mathematics21.org/binaries/funcoids-are-filters.pdf

Es obvio que $G\circ F\in\Gamma$ para todos los binarios de las relaciones de $F,G\in\Gamma$.

Por lo tanto para todos los filtros de $f$ $g$ $\Gamma$ podemos definir $g\circ f$ como el filtro en $\Gamma$ definido por la base de la $\{ G\circ F \mid F\in f,G\in g \}$.

Necesito demostrar (o refutar) que si $K\in g\circ f$ entonces no existe $F\in f$ $G\in g$ tal que $K\supseteq G\circ F$ (para todos los filtros $f$, $g$ en $\Gamma$).

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Parece que es suficiente para demostrar esta conjetura sólo para el caso si $f$ o $g$ es una de las principales filtro.

Answer 1

Vamos $f$, $g$ se filtra en $Γ$.

"definir $g∘f$ como el filtro en $Γ$ definido por la base de la $\{G∘F∣F∈f,G∈g\}$."

Así como se afirma, $g∘f$ es el filtro generado por (=el más pequeño filtro que contiene la base $\{G∘F∣F∈f,G∈g\}$.

Esto significa que

$\{G∘F∣F∈f,G∈g\}$ es una base para el filtro de $g\circ f$.

Que, mediante la definición de una base de un filtro, implica:

Para cada una de las $K$ si $K∈g∘f$ entonces no existe $F∈f$ $G∈g$ tal que $K⊇G∘F$.

Así que no queda nada que demostrar.