Cómo probar esta ecuación diophantine $x^2+y^2+z^3=n$ siempre han entero solución

Question

demostrar que: Para cualquier postive ineteger $n$,entonces la ecuación $$n=x^2+y^2+z^3$$ siempre han entero solución

Mi idea: como $n=1$,luego tenemos $$1=0^2+0^2+1^3$$ $$2=0^2+1^2+1^3$$ $$3=1^2+1^2+1^3$$ $$4=2^2+0^2+0^3$$ $$5=1^2+2^2+0^3$$ $$6=1^2+2^2+1^3$$ $$7=2^2+2^2+(-1)^3$$ $$8=0^2+0^2+2^3$$ $$9=1^2+0^2+2^3$$ $$10=1^2+1^2+2^3$$ $\cdots\cdots\cdots$

Pero para general$n$, ¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

Mi amigo puso esto como una MAA Mensual problema, hace muchos años. La comparación es que hay una infinidad de números que no tienen expresión como $x^2 + y^2 + z^9.$ Este simple resultado derrotado existente conjetura; nos envió a principios de Robert C. Vaughan, por lo que hizo en la segunda edición de su libro El de Hardy-Littlewood Método. Es probable que cada número puede ser escrito como $x^2 + y^2 + z^5,$, pero no es seguro.

Ver http://zakuski.utsa.edu/~jagy/Elkies_Kap.pdf

y artículos relacionados en http://zakuski.utsa.edu/~jagy/inhom.html

Answer 2

He aquí una prueba con una solución que he encontrado aquí.

Escribir $n$ en la forma $8^m\cdot s$, para un entero $m\ge0$ e con $s$ no divisible por $8$. Esto siempre se puede hacer. Tenga en cuenta que un número entero $s$ que no es un múltiplo de a $8$ puede ser escrito en una de las siguientes tres formas: $2k+1$ (si $s$ es impar), $4k+2$ (si $s$ es aún, pero no es un múltiplo de a$4$) o $8k+4$ (si $s$ es par y múltiplo de $4$).

En primer lugar, encontrar una expresión para $s$ en la forma $a^2+b^2+c^3$ como sigue. (No he revisado estos detalles.)

Si $s=2k+1$, vamos $a=k^2-k-1$, $b=k^3-3k^2+k$, y $c=-k^2+2k$.

Si $s=4k+2$, vamos $a=2k^3-2k^2-k$, $b=2k^3-4k^2-k+1$, y $c=-2k^2+2k+1$

Si $s=8k+4$, vamos $a=k^2-2k-1$, $b=k^3+k+2$, y $c=-k^2-1$

Ahora observe que si $s$ es la suma de dos plazas y un cubo, por lo que es $8s$, debido a $8(a^2+b^2+c^3)=(2a+2b)^2+(2a-2b)^2+(2c)^3$. Inductivamente, si $s$ es la suma de dos plazas y un cubo, entonces también lo es $8^ms$ para cualquier entero no negativo $m$.

Ya hemos demostrado que $s$ es la suma de dos plazas y un cubo, por lo $n=8^ms$ es así, completar la prueba.