Si la suma y la multiplicación están conectadas fundamentalmente, ¿por qué$x * y$ es operable explícitamente pero no$x+y$?

Question

Esto suena desconcertante simplista y me disculpo por lo ingenuo me suena preguntando esto, pero realmente no puedo proporcionar una buena explicación para mí en cuanto a por qué este es el caso, de manera intuitiva, aparte de ser simplemente la forma de hacer matemáticas.

Pero, a mi modo de ver, la multiplicación es una glorificado, que se repite la forma de adición, y que suena más lugar que para mí, naturalmente, que suena menos fundamentales y especializados. Sin embargo, cuando las matemáticas soy mucho más feliz que lidiar con la multiplicación de los que yo tengo que lidiar con la terquedad de adición a menos que yo estoy haciendo el cálculo. Yo sé por qué me puede simplificar las ecuaciones debido a las propiedades de la multiplicación, pero no sé por qué son como son y por lo que tienden a ser mucho más flexible que además a pesar de ser una más avanzada forma de adición, por falta de una palabra mejor. Es mucho más fácil poner un multiplicativo elemento en una fórmula en la física que se suman, por ejemplo, ya que además requiere que ambas variables se agregan a tener las mismas unidades.

De dónde sacaste todo esto? Si nada acerca de mi pregunta requiere una aclaración, por favor, comentar y preguntar.

Answer 1

En primer lugar, las operaciones de la adición y la multiplicación son sólo los operadores binarios, que es un operador decir, $\#$, que funciona en cualquiera de los dos elementos de un matemático conjunto, $S$.

Podemos decir que esos dos elementos $a,b \in S$, en el conjunto, y puede ser operado en $a\; \# \;b$ conseguir otro $c \in S$. Esta propiedad, de tomar una operación binaria en dos elementos de un conjunto para obtener otro elemento de un conjunto es el axioma fundamental de lo que llamamos un grupo. Hay de hecho otras propiedades que $\#$ debe tener para calificar para un grupo en particular, debe haber alguna $e \in S$ que $a\; \# \;e = e \; \# \; a = a$, y la recíproca que existe. Sin embargo, usted puede mirar en que más por su cuenta.

Volviendo a tu pregunta, la adición y la multiplicación tal como se describen ellos, son simples de dos operaciones binarias que han llegado a significar mucho para el mundo como un todo, ya que, en general, hacer un buen trabajo en la combinación de números que observamos en la vida de cada día.

La propiedad que se describe como la "facilidad" de la multiplicación supongo que es en gran parte debido a su distributividad, ya que tanto la multiplicación y la adición son las comunidades (el orden de los elementos a ser operado en no importa) y asociado (el orden de las llamadas sucesivas de no importa el operador). Que me tenga en cuenta que estas propiedades, especialmente conmutatividad son raros y especiales a venir!

Como la multiplicación es de hecho una forma abreviada para expresar la adición, la distributividad puede ser "probada" de la siguiente manera:

$$(a+b)*(c) = \sum^{c}_{1}{a+b} = \sum^{c}_{1}{a} + \sum^{c}_{1}{c} = a*c + b*c. $$

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Esta propiedad es en gran parte la razón de que es mucho más fácil tratar con los valores tal como se describen en la física, donde la simplificación en gran parte es debido a la agrupación y a la resolución de sub expresiones que pueden ser más fácilmente extraído usando la distributividad.

También le sugiero reflexionar sobre más operadores que son extensiones de la cima de la multiplicación de sí mismos! Como exponente, $2^3 = 2*2*2$, o incluso el impresionante flecha de notación, $2 \uparrow \uparrow 3 = 2^{2^2} $.

Es una pregunta simple, pero uno en el corazón de resumen de álgebra y teoría de números, dos temas que parecen ser de su interés. Anillos, grupos, campos, y en! Espero que esto ayude.