Es $D(A)$ necesariamente densa en $E$ ? Es $G(A)$ necesariamente cerrado en $E \times E$ ?

Question

Dejemos que $E = L^p(0, 1)$ con $1 \le p < \infty$ . Consideremos el operador no limitado $A: D(A) \subset E \to E$ definido por $$D(A) = \{u \in W^{1, p}(0, 1),\text{ }u(0) = 0\} \text{ and }Au = u'.$$ Tengo dos preguntas.

1. Es $D(A)$ necesariamente denso en $E$ ?
2. Es $G(A)$ necesariamente cerrado en $E \times E$ ?

Answer 1

Para $(1)$ $D(A)$ es denso, porque contiene todas las funciones suaves con soporte compacto $C_0^\infty$ que son densos en $L^p(0,1)$ .

Para $(2)$ se tiene el operador inverso $(A^{-1}y)(t)=\int\limits_{0}^{t}{y(s)ds}$ para cada $y\in L^p(0,1)$ porque $\int\limits_{0}^{t}{y(s)ds}$ es absolutamente continua y $(A^{-1}y)(0)=0$ . También $A^{-1}: L^p(0,1) \to L^p(0,1)$ está acotado: $$\|A^{-1}y\|_{L^p}^p=\int\limits_{0}^{1}{\left|\int\limits_{0}^{t}{y(s)ds}\right|^pdt}\leq 1\cdot\|y\|_{L^p}^p$$ Por lo tanto, $A$ está cerrado. Este último es un caso especial de un caso más general

Propuesta: Dejemos que $A: D(A)\subset X\to Y$ , donde $X,Y$ son de Banach y $A$ es lineal. Si $A^{-1}: Y\to X$ existe y está acotado, entonces $A$ está cerrado.

Prueba: Dejemos que $u_n\subset D(A)$ y $u_n\to u$ y $Au_n\to y$ . Entonces, porque $Y$ está cerrado, $y\in Y$ . Además, porque $A^{-1}$ está acotado $\Rightarrow A^{-1}(Au_n)=u_n\to A^{-1}y$ sur $X$ . Pero $u_n\to u$ sur $X$ y los límites son únicos $\Rightarrow u=A^{-1}y$ y por lo tanto $u\in D(A)$ y $Au=y$ .

Answer 2

Un enfoque diferente para 2:

Tome $(u_n)$ sur $D(A)$ tal que $u_n\to u$ y $Au_n\to v$ , ambas convergencias en $E$ .

Hecho 1. $u\in W^{1,p}(0,1)$ con $u'=v$ .
Prueba: Toma $\varphi\in C_c^\infty(0,1)$ . Desde $L^p(0,1)$ está continuamente incrustado en $L^1(0,1)$ existe una constante $c_0$ tal que $$0\leq \left|\int_0^1u_n\varphi'-\int_0^1u\varphi'\right|\leq (\max |\varphi'| )\int_0^1|u_n-u|\leq c_0(\max |\varphi'| )\|u_n-u\|_{L^p},\quad\forall \ n \in\mathbb{N}.$$ y $$0\leq \left|\int_0^1Au_n\varphi-\int_0^1v\varphi\right|\leq (\max |\varphi |)\int_0^1|Au_n-v|\leq c_0(\max \varphi )\|Au_n-v\|_{L^p},\quad\forall \ n \in\mathbb{N}.$$ Así, $$\int_0^1u\varphi'=\lim_{n\to\infty}\int_0^1u_n\varphi'=\lim_{n\to\infty}\left(-\int_0^1Au_n\varphi\right)=-\int_0^1v\varphi.$$ Como $\varphi$ es arbitraria, obtenemos el hecho deseado.

Hecho 2. $u(0)=0$ .
Prueba: Desde $W^{1,p}(0,1)$ está continuamente incrustado en $C([0,1])$ existe una constante $c_1$ tal que $$0\leq |u(0)|=|u_n(0)-u(0)|\leq \sup_{x\in[0,1]}|u_n(x)-u(x)|\leq c_1\|u_n-u\|_{W^{1,p}},\quad\forall\ n\in\mathbb N.$$ Tomando el límite como $n\to\infty$ , obtenemos el hecho deseado.

Conclusión: $u\in D(A)$ y $v=Au$ . Así que, $G(A)$ está cerrado en $E$ (véase el teorema 4.13-3 en El libro de Kreyszig ou esta página de Wikipedia ).