¿Cuándo una imagen directa con soporte adecuado tiene un adjunto derecho?

Question

Para $f: X → Y$ un morfismo de esquemas, ¿alguien conoce las condiciones para la existencia de una adjunción $(f_!,f^!)$ entre las categorías de módulos ( no el cuasicoherente ), donde $f_!$ es la imagen directa con el apoyo adecuado y $f^!$ es su a la derecha ¿Adjunta? ¿Puede ocurrir esto en el nivel de las categorías de módulos, o sólo en el nivel derivado?

He dado una respuesta a este pregunta que es inútil sin conocer lo anterior...

Answer 1

Supongo que la pregunta es válida en contextos en los que podemos pegar inmersiones abiertas y morfismos propios para producir $f_!$ para $f$ separados de tipo finito. En particular, tendremos $f_!=f_\ast$ para $f$ adecuado.

Ajuste no derivado --- Si $f:X\rightarrow Y$ es adecuado, se puede preguntar si $f_\ast$ tiene un adjunto derecho. Obsérvese que, si $Y=\mathrm{Spec}(k)$ para un campo algebraicamente cerrado, entonces $f_\ast$ es esencialmente el functor de sección global sobre $X$ (si trabajamos con topologías razonables como Zariski, Nisnevich o étale). Esto sugiere que $f_\ast$ no tiene un adjunto derecho en general (si no, sería exacto, y esto diría que los esquemas propios no tienen ninguna cohomología interesante). Si $f$ es cuasi-compacto y cuasi-separado, entonces $f_\ast$ preserva los colímetros filtrados (este es el caso si $f$ es adecuado). De ahí que el obstáculo para $f_\ast$ para tener un adjunto derecho es sólo su exactitud izquierda. Todavía hay casos en los que $f_\ast$ tiene un adjunto a la derecha en el nivel de las láminas: cuando f es una inmersión cerrada (para la topología de Zariski), y cuando f es finita (para la topología de Nisnevich y para la topología de étale): la exactitud de $f_\ast$ se demuestra contemplando el comportamiento de $f_\ast$ en tallos de $Y$ Para la topología de Zariski, se utiliza que los puntos son los anillos locales, y que cualquier cociente de un anillo local es local; de forma similar, para la topología de Nisnevich (resp. étale), se utiliza el hecho de que los puntos son los anillos henselianos (resp. estrictamente henselianos), y que cualquier extensión finita de un anillo henseliano sigue siendo henseliana. Así que, en conclusión, parece que podemos esperar $f^!$ a existe cuando $f$ es una inmersión (para la topología de Zariski), o cuando $f$ es cuasi finito (para la topología Nisnevich o étale).

Ajuste derivado --- Como, para una inmersión abierta $j, j_!$ sigue siendo la extensión por cero, siempre tiene un adjunto derecho $j^\ast$ . El problema es entonces de nuevo obtener un adjunto de $f_!=f_\ast$ para $f$ adecuado. El problema es similar al del caso no derivado, salvo que el obstáculo es menor: como $f_\ast$ es un functor exacto entre categorías trianguladas bien generadas (en el sentido de Neeman; para ello tenemos que trabajar con complejos no nublados), $f_\ast$ tiene un adjunto derecho si y sólo si preserva las sumas directas pequeñas (esto es un ejemplo del teorema de representabilidad de Brown). Hay una buena condición suficiente para esto, que recordaré. Recordemos que un objeto $X$ en una categoría triangulada es compacta si, para cualquier número entero $n$ el functor $\mathsf{Hom}(X[n],-)$ conserva las pequeñas sumas directas. Una categoría triangulada $T$ es de generación compacta si admite sumas pequeñas, y si existe una familia generadora pequeña $G$ sur $T$ que consiste en objetos compactos (es decir, todos los elementos de $G$ son compactos en $T$ y para un objeto $M$ sur $T$ , uno tiene $M=0$ si $\mathsf{Hom}(X[n],M)=0$ para cualquier número entero $n$ y cualquier $X$ sur $G$ ). Una categoría triangulada generada de forma compacta es un ejemplo básico de una categoría triangulada bien generada. En particular, si $F:T\rightarrow T'$ es un functor entre categorías trianguladas de generación compacta, entonces tiene un adjunto derecho si preserva las sumas directas pequeñas. La buena noticia es que, para tal $F$ una condición suficiente para ello es la siguiente: supongamos que $F$ tiene un adjunto izquierdo $L:T'\rightarrow T$ y que existe una pequeña familia $G'$ de generadores compactos de $T'$ tal que $L$ envía los elementos de $G'$ a objetos compactos de $T$ . Entonces $F$ preserva las sumas directas pequeñas (por lo tanto, tiene un adjunto derecho).

Si volvemos a nuestro functor $f_\ast$ (con $f$ adecuada), una condición suficiente para $f^!$ para que exista es que nuestras categorías derivadas de láminas estén generadas de forma compacta y que las láminas representables formen una familia de generadores compactos: como $f^\ast$ obviamente preserva los representables, estas suposiciones dan la existencia de $f^!$ . En cuanto a las condiciones bajo las cuales los representables son compactos o no (que es una suposición de finitud sobre $X$ y $Y$ mismos), ya se han sugerido algunas condiciones suficientes aquí (el hecho de que los representables formen una familia generadora es obviamente siempre cierto).

Answer 2

Por lo tanto, sabemos que dicha adjunción existe para una inmersión cerrada o para una inmersión abierta donde obtenemos $(f_*, f^!)$ el pushforward y el subsheaf con soportes y $(f_!, f^*)$ la extensión por cero y el pullback respectivamente. Así que componiendo podemos obtenerlo para las inmersiones. Obviamente, también lo obtenemos cuando tenemos un morfismo propio en el que el pushforward tiene un adjunto derecho (creo que esto no es muy frecuente, excepto en el caso de inmersiones cerradas -el pushforward tendría que ser exacto con respecto a todos los módulos- ¿se le ocurre a alguien un ejemplo que no sea una inmersión cerrada?)

Todavía no he conseguido resolverlo del todo, pero tenemos lo siguiente. Supongamos que tenemos $f:X \to Y$ y queremos un adjunto derecho a $f_!$ que es compatible con los hom internos denotados por $f^!$ . Entonces, utilizando el hecho de que el adjunto derecho para una inmersión abierta es la restricción, uno puede utilizar esto para calcular que la asignación

$U \mapsto \mathrm{Hom}_{O_Y}(f_!(i_! O_U), F) $

para inmersiones abiertas $i:U \to X$ y cualquier gajo de $O_Y$ -módulos $F$ debe dar una gavilla. Todavía no puedo expresarlo bien, pero esto parece (al menos a mí) bastante improbable que ocurra en cualquier generalidad.

Answer 3

Véase también Iversen, "Cohomology of Sheaves", p. 108.