Estructura algebraica: Conjunto de operaciones consideran operaciones binarias?

Question

Actualmente estoy tratando de entender la "jerarquía" de los conjuntos / estructuras algebraicas, por ejemplo, cosas como grupos, anillos, campos, módulos, álgebra, espacios vectoriales, que en su mayoría los entiendo, pero especialmente a los más técnicos cosas como álgebras booleanas (ejemplo específico de un álgebra?), boolean anillo (ejemplo específico de un anillo?), álgebra sobre un campo (un ejemplo específico de álgebra?), campo de conjuntos (ejemplo específico de un campo?), álgebra de conjuntos (un ejemplo específico de álgebra?), álgebra sobre un anillo (un ejemplo específico de álgebra?), etc... me gustaría averiguar cómo estas cosas están relacionadas. Sé que tengo mucho que leer, que probablemente tendrá un montón de tiempo. Afortunadamente he encontrado una útil hilo que he encontrado y que me gustaría recomendar a los demás: Algebraica de la estructura de la hoja de trucos a nadie?

Mientras tanto, estoy empezando con esta página de la Wikipedia, que bien clasifica a estos objetos basados en (1) cuántos sets y (2) ¿cuántas operaciones binarias: https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure

Yo aviso al principio de la lista es "set", que se define como "degenerado estructura algebraica de no tener ninguna de las operaciones". Tengo algunas preguntas acerca de esto:

1. Son las conocidas "conjunto de" operaciones "unión" y "intersección", considerada como operaciones binarias?
2. ¿La noción de "conjunto" (al principio de esta lista de estructuras algebraicas, considerado como el no tener operaciones binarias) incluyen un conjunto junto con la unión y la intersección?
3. Si la respuesta a la pregunta anterior fue no, ¿ debemos llamar a la triple $(S,\cup,\cap)$ que solemos considerar como un conjunto, es decir, $S$ que si $A \in S$$B \in S$,$A \cup B \in S$? Es esta una más complicada estructura con un nombre diferente, o "siempre" tienen acceso a la unión y la intersección cuando estamos hablando de juegos?
4. De forma similar a la anterior pregunta, pero, ¿qué acerca de las nociones de "complemento" y "diferencia", es decir, que estas "operaciones", considerada como "operaciones binarias"? Y se que siempre se incluye en la noción de un conjunto o crear una estructura adicional, por ejemplo, ahora estamos hablando de algo como $(S, \cup, \cap, c)$ o $(S, \cup, \cap, -)$?
5. ¿Qué acerca de "producto cartesiano" $\times$ de los conjuntos? Es esta considerada como una "operación binaria"?
6. Cuando pienso en una "operación binaria", debía pensar en una función de $f:S \times S \to S$? Si es así, entonces las operaciones binarias definidas en términos del producto cartesiano. Sin embargo, no es el producto cartesiano mismo, considerado una operación binaria? Esto parece circular.
7. Por último, recordemos que una función en sí misma (una función entre dos conjuntos) se define como una relación especial entre los dos conjuntos, y una relación es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos. Así que, de nuevo, la función (y por tanto la operación binaria) se definen en términos de producto cartesiano. Sin embargo, parece como producto cartesiano ES una relación binaria... Circular!

Gracias por su ayuda compensación de esto!

Answer 1

1: Conjunto de operaciones unión, intersección) definir una operación binaria en el juego de poder $\mathcal P(S)$ de un conjunto $S$. Es decir, que dan un mapa de la $\mathcal P(S) \times\mathcal P(S) \to \mathcal P(S)$. No tiene sentido tomar la intersección de dos elementos $A \in S$ $B \in S$ (a menos que usted está pensando establece en términos de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos, donde los "elementos" de los conjuntos son siempre los mismos conjuntos. En este caso, el conjunto $A \cap B$ $A\cup B$ no tienen que ser elementos de $S$, por lo que este todavía no proporciona una operación binaria en $S$).

2: después De mirar la página de la Wikipedia, parece que están considerando la posibilidad de conjuntos con operaciones en absoluto. Esto tiene sentido, ya que los conjuntos de ellos no vienen con un natural de la operación binaria.

3+4: La pregunta de si podemos o no "siempre tienen acceso a $\cup$ $\cap$ cuando hablamos de conjuntos" se reduce a la pregunta de qué es exactamente queremos decir con un "set" para comenzar con. La pregunta es, por tanto, acerca de la teoría de conjuntos, y depende de la manera formal en que usted enfoque de conjuntos, es decir, en los axiomas de la teoría de conjuntos a los que suscribirse. Hasta donde yo sé (descargo de responsabilidad: no soy experto) más ampliamente aceptada conjunto de teorías permiten nociones de la unión, la intersección, producto cartesiano, y el complemento (es decir, estas "operaciones" son axiomas o puede ser construido a partir de los axiomas).

5: elementos Dados $a,b \in S$, no tiene sentido tomar su producto cartesiano y afirman que es también un elemento de $S$, por la misma razón que $\cup$ $\cap$ no definir las operaciones binarias en $S$. En este caso, el producto cartesiano no es aún una operación binaria en $\mathcal P(S)$! Eso es porque dado $A \subset S$, $B\subset S$, $A\times B$ no es un subconjunto de a $S$.

6: Esta es la definición de una operación binaria. En configuración algebraica, se suelen reemplazar $f(x,y)$ con $x*y$, $x\cdot y$, o a veces simplemente con la yuxtaposición (por ejemplo,$xy$) para ahorrar espacio.

7 (y la segunda parte de 6): la Circularidad en la definición surge cuando se intenta definir $B$ en términos de $A$, y también definir $A$ en términos de $B$. El producto cartesiano no es definido mediante operaciones binarias o funciones, por lo que estas definiciones no son circulares.

Answer 2

Unión, intersección, diferencia simétrica y complemento relativo son operaciones binarias en cualquier colección de conjuntos cerrados en estas operaciones. Ellos no son generalmente definidos en los elementos de un conjunto único. Por ejemplo, considere el $X=\{\rm apple,orange\}$. ¿Qué es $\rm apple\cup orange$ supone que significa eso?

Una estéril set $X$ por sí mismo no viene equipado con todas las operaciones efectuadas por la sencilla razón de que no podemos equipar con cualquier. Y, escribir $(X,\cap,\cup)$ doen generalmente no tiene ningún sentido. Si empezamos con una colección de conjuntos de $X$ que es cerrado bajo las operaciones, a continuación, escribir $(X,\cap,\cup)$ tiene sentido, y es un ejemplo particular de una celosía.

El producto cartesiano (y discontinuo de la unión) también son operaciones binarias definidas en las colecciones de conjuntos. Pero usted no necesita utilizar la frase "operación binaria" para definir el producto cartesiano, sólo pasa a ser un ejemplo de uno (en ciertas colecciones de conjuntos), mientras que las operaciones binarias en un único conjunto $X$ se definen como funciones de $X\times X\to X$ para el conjunto único $X$, y los binarios de relaciones (incluyendo las funciones) entre dos conjuntos de $X$ $Y$ se definen subconjuntos de que el único producto cartesiano $X\times Y$.

Mantenga en mente la distinción entre un conjunto único y una colección de conjuntos.