Algunas preguntas sobre Gödel ' teoremas de s de la integridad y el estado incompleto

Question

Estoy tomando un curso en el que estamos cubriendo un poco de lógica, y estoy tratando de entender algunos matices de Gödel los teoremas de completitud y la incompletitud.

Q1) ¿Es correcto decir que Gödel integridad del teorema se refiere a la integridad de las deductivo sistema donde como Gödel del teorema de la incompletitud se refiere a una relación, el concepto de integridad de un conjunto de axiomas?

Tengo curiosidad porque me han dicho que Gödel del teorema de la incompletitud de los estados que un sistema deductivo es imprudente o incompleta. Que creo estar equivocado.

Q2) En primer orden la lógica es mi entendimiento de que usted no puede hacer referencia a una frase dentro de sí. Tales como "Esta oración no es verdadera" o "Esta frase no tiene pruebas".

Sin embargo, me da la frase "$\alpha(j, A) = \forall i$ $\ i$ no es el número de Gödel de una prueba de la sentencia cuyo número de Gödel es j, donde la prueba se utiliza sólo a las instalaciones en $A$". ($A$ es recursivamente enumerable conjunto de axiomas).

Luego la dejamos $\sigma = \alpha(\#\sigma, A)$ donde $\#\sigma$ es el número de Gödel de $\sigma$. Podemos realmente decir que $\sigma$ no es auto referencial en esta situación? Cómo es esto diferente de la declaración de "Esta frase no tiene pruebas"? Esto es de Introducción a la Inteligencia Artificial por Russell y Norvig.

Q3) Finalmente, es la frase $\sigma$ independiente del conjunto de axiomas $A$, es decir, tanto en $A\wedge \sigma$ $A \wedge \neg \sigma$ tanto válido?

EDIT: El siguiente argumento es un disparate. Acaba de salir de aquí recordar mi tren de la (incorrecta) de pensamiento.

Parece que debe ser el caso de que ambos son conste. De lo contrario, si $\sigma$ siempre es una declaración verdadera, entonces eso implica $A \models \sigma$, lo $A \vdash \sigma$ por la integridad, por lo que ahora nos tener una prueba, por lo $\sigma$ es falso.

Pero si $\sigma$ es siempre falsa, entonces la $A \wedge \neg \sigma$ es unsatisfiable, por lo $A \models \sigma$. A continuación, $\sigma$ es cierto.

Ha sido un tiempo desde que he pensado en esto, ¿alguien puede aclarar un poco?

Answer 1

¿Es correcto decir que Gödel integridad del teorema se refiere a la integridad de las deductivo sistema donde como Gödel del teorema de la incompletitud se refiere a una relación, el concepto de integridad de un conjunto de axiomas?

Sí. A pesar de que los dos usos de los términos "completo/incompleto" no son totalmente ajenos (el doble uso no es un caso de terminológico perversidad, incluso a pesar de los lógicos, puede ser culpable de eso). Por la nota que un semánticamente completo sistema deductivo es uno de esos que, si se agrega una nueva lógica axioma que no puede ya ser derivados (o una nueva regla de inferencia que no puede ser establecido como un derivado de la regla del sistema), entonces la lógica se vuelve inútil en virtud de que la justifican argumentos que no son semánticamente válido. Asimismo negación-completo de la teoría es uno de esos que, si se agrega como un nuevo axioma algunos proposición que no puede ya ser derivado en la teoría, entonces la teoría se vuelve inútil por la virtud de volverse incoherente.

En primer orden la lógica es mi entendimiento de que usted no puede hacer referencia a una frase dentro de sí. Tales como "Esta oración no es verdadera" o "Esta frase no tiene pruebas".

No, no hay nada que te detenga tener una interpretado de primer orden de la lengua, que es tal que, entre las constantes [o, entre otros términos], hay algunos que son interpretados para denotar las frases de ese lenguaje. Un lenguaje en el que la auto-referencia es posible no por ello deja de ser de primer orden.

Podemos realmente decir que $\sigma$ no es auto referencial en esta situación?

Se han definido $\sigma$ como una frase del matemático inglés, las matemáticas y el inglés puede referirse a las pruebas y, de hecho, ser auto-referencial; pero este no es el Gödel frase que está buscando, que pertenecen al lenguaje formal de la teoría formal $A$, lo que es. Tal vez usted quiere que $\sigma$ se supone para ser una sentencia de $A$ -- Aritmética de Peano, por ejemplo, que en la interpretación que vemos es verdadera si y sólo si no $A$-prueba es una prueba de ello. Pero tal wff no es, estrictamente hablando, auto-referencial: va a ser un largo wff formal de la aritmética, que es acerca de los números, no se trata de wffs.

Los libros de texto (mencionar ningún nombre, ejem) debe explicar este tipo de cosas con claridad.