¿Cómo se puede generalizar un resultado?

Question

Supongamos que estamos tratando de generalizar un resultado, por ejemplo, un conocido teorema o de una teoría. La generalización debe mejorar el resultado de alguna manera. ¿Cuáles son las mejores tácticas para hacer esto?

Voy a tratar de explicarme mejor: En el modo común de aprendizaje, empezamos a aprender cosas que son más fáciles de entender y, a continuación, vamos a cosas más complicadas, por ejemplo, en un curso de análisis de aprender el Teorema de la Función Inversa (IFT) para finito-dimensional de los espacios de Banach. Si seguimos estudio (por ejemplo, si usted es un analista), en algún momento vamos a aprender acerca de (o al menos oír acerca de) el IFT general de los espacios de Banach. Como podemos ver, este teorema incluye el finito-dimensional caso.

Para hacer este tipo de generalización, lo que vamos a intentar encontrar algunas de las propiedades que son comunes a ambos casos. Por otra parte, la generalización, en algunos casos, debe contener algunas de las principales propiedades de las que no somos capaces de ver cuando se relacionan sólo con el caso estándar. Así que, ¿cómo encontrar estas propiedades? Cómo saber la mejor manera de generalizar algún tipo de propiedad?

Si mi pregunta es una tontería haga caso omiso de ella, y lo siento por el inglés.

Answer 1

Algunos de los resultados como dices, es un teorema $t_m$ involucran a instancias de alguna estructura $m$. Usted encontrará una más general resultado exactamente entonces cuando se considere la posibilidad de una más general structre $M$, y la construcción de un teorema $T_M$ que $T_m=t_m$.

E. g. usted podría considerar como $m$ la polinomial $x^4$ y te encuentras con un teorema de la $t_m$ dada por

$$\frac{\text d}{\text dx}x^4=4x^3.$$

La expresión más general $M$ $x^n$ $n\in\mathbb{N}$ fullfills un $T_M$ dada por

$$\frac{\text d}{\text dx}x^n=nx^{n-1}.$$

Como el último resultado $T_M$ es válida para todas las $n$, menos generales teorema $T_m$ $m$ está implícita también. Por supuesto, he construido este ejemplo en una manera en que $T_m$ exactamente los rendimientos de la anterior $t_s$.

Ahora, ¿cómo pasar de $m$$M$? Aquí estoy abstraído de la instancia de $4$ por una más general, el objeto para el que decidí que el "tomar el poder de x"-proceso de ser sensible también. Comprendo $4$ tipo $\mathbb{N}$. Para la prueba formal de cualquiera de los teoremas $t,T$, voy a necesitar algo de la sintaxis y la prueba de la deducción.

Creo que la respuesta a tu pregunta "cómo llegar hasta con la generalización (de la estructura)?" podría ser "de la necesidad específica a un problema de interés". Y la respuesta a "cómo encontrar la estructura que generaliza otro" puede ser que uno se tiene que resumen las reglas sintácticas que rigen las matemáticas que trata earlies para que se adapte a su nuevo problema.

He intentado colarse en algunas de las ideas de modelo de la teoría de aquí, pero estoy muy físico y el primer ejemplo que viene a la mente al leer tu pregunta lo que la búsqueda de la generalización de la teoría de la electrodinámica para caber en la fuerza nuclear fenómenos. En una pregunta a través de muchas décadas, la gente finalmente se reformuló la anterior para ser un medidor de campo de la teoría con la $U(1)$ grupo de simetría y su generalización a los grupos más grandes $SU(n)$, de Yang-Mills teoría, ahora gobierna el modelo Estándar de la física de partículas. La visión de considerar bastante abstracta de las estructuras de grupo y su matriz de representaciones fue motivada por la observación de las similitudes estructurales que se encuentran en el zoo de partículas de la $70's$ y luego la gente tratado y tratado. Supongo que se debe formular como: terminó con una teoría que no que no funcione. Mi conclusión es que no hay ninguna abstracción general del algoritmo, y que genera nuevas teorías (que produce resultados valiosos) en tiempo finito :)

Answer 2

Voy a tratar de explicar mediante un ejemplo:

• En el inicio de los estudios, funciones continuas podría ser introducido. Por ejemplo, sólo para $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, utilizando el $\varepsilon-\delta-$definición.
• Lateron, se generaliza a cualquier $\mathbb{R}^n$ mediante el uso de normas y, a continuación, a la normativa de los espacios. Usted puede ver que el valor absoluto $|x-x_0|$ puede ser sustituido por $\|x-x_0\|$ y el aumento de la generalidad.
• Como último paso, se observa que la definición de "f es continua si la fibra de cada conjunto abierto U es abierto" es igual de bueno. Esto conduce a la definición de topologías.

Como última observación, vemos que si se quita los axiomas de topologías, se pierde la capacidad de definir la idea de continuosity.

Este es el tren de pensamiento para la generalización: Se empieza con algo que está cerca de nuestra comprensión y tratar de eliminar los axiomas/ideas/requisitos etc, mientras que el mantenimiento de la idea general.

Exactamente a responder a su pregunta, generalizando el resultado sería el proceso de eliminación de las condiciones previas sin cambiar el resultado.

Answer 3

Si usted quería saber lo que 50 grados Fahrenheit en grados Celsius, lo que el maestro enseñó primero a hacer es restar 32, dividir por 5, y luego se multiplica por 9, en ese orden. Después de que sabía la respuesta, la siguiente pregunta obvia es, ¿cómo puedo encontrar a 60 grados Fahrenheit en grados Celsius? Rápidamente se dan cuenta de que el patrón, y reconocemos que el patrón de la fórmula: $$C = (F - 32)*\frac{9}{5}$$ Que fórmula puede ser aplicada para el F. después de aprender que a través de una serie de la fórmula de operaciones, puede crear una fórmula para hacer a la inversa, Celsius a Fahrenheit.

No habríamos sido capaces de hacer esto y si no hubiéramos creado las matemáticas para apoyar el simple fundamentos de álgebra. Del mismo modo, usted no será capaz de encontrar el área bajo una curva sin integrales y así sucesivamente. El problema es que se llega a un cierto punto en el cual ya no se ocupan de fórmulas, sino de conceptos. Que ha demostrado que es difícil simplemente para contextualizar y, en consecuencia, se hace casi imposible para aplicar de forma genérica. Es mi opinión personal es que no es porque no puede, pero debido a nuestras limitaciones de comprensión significa que aún no hemos inventado las matemáticas para hacer tales cosas. Sería como Newton, tratar de calcular la órbita de un planeta sin primero la invención del Cálculo. Se puede hacer, pero se hace tan extremadamente difícil de conceptualizar la que casi literalmente, primero tiene que inventar las matemáticas, antes de ser realista.

Creo que simplemente carecen de las matemáticas generalización de un teorema, pero que algún día podría cambiar.