Si conmuta $ab=ba$, prueba $a^2$ $b^2$

Question

Del Dr. Pinter "Un Libro de Álgebra Abstracta":

Dado $a$$b$$G$$ab=ba$, podemos decir que el $a$ $b$ viaje.

4. Demostrar $a^2$ viajes con $b^2$

He intentado:

$$ab=ba$$ $$a^{2}b^{2}=b^{2}^{2} \text{ // para demostrar que $a^2$ viajes con $b^2$}$$ $$aabb=bbaa$$

Entonces, sabiendo que $$a=b^{-1}ab,$$ I substituted that '$un$' into '$aabb=bbaa$'.

Pero que la simplificación de a '$aabb=bbaa$', es decir, no conseguí nada con ella.

Cómo puedo probar que $$aabb=bbaa$$ por este problema?

Answer 1

Aquí está la prueba (sólo utiliza ese $ab=ba$, que se da):

$$\begin{align} a^2b^2 &=aabb = a(ab)b \ &= a(ba)b = (ab)(ab) \ &= (ba)(ba) = b(ab)a \ &= b(ba)a =bbaa\ &=b^2a^2 \end {Alinee el}$$

Answer 2

Bueno, vamos a ser explícito en todo, incluyendo la asociatividad (es decir, el uso de paréntesis en todas partes). Tenemos $$\begin{align} a^2 b^2 &= (aa)(bb) && \text{definition of %#%#%}\\ &= ((aa)b)b && \text{associativity}\\ &= (a(ab))b && \text{associativity}\\ &= (a(ba))b && \text{%#%#% and %#%#% commute}\\ &= ((ab)a)b && \text{associativity}\\ &= ((ba)a)b && \text{%#%#% and %#%#% commute}\\ &= (ba)(ab) && \text{associativity}\\ &= (ba)(ba) && \text{%#%#% and %#%#% commute}\\ &= ((ba)b)a && \text{associativity}\\ &= (b(ab))a && \text{associativity}\\ &= (b(ba))a && \text{%#%#% and %#%#% commute}\\ &= ((bb)a)a && \text{associativity}\\ &= (bb)(aa) && \text{associativity}\\ &= b^2a^2 && \text{definition of %#%#%} \end{align}$$ Ahora normalmente no se escribe de esta manera, porque, después de reconocer que debido a la asociatividad no importa cómo se establece entre paréntesis, que normalmente decide solo omite todos los soportes, y luego un montón de pasos (es decir, todos marcados con "asociatividad") no cambia nada. Por lo tanto, todo se derrumba en la siguiente secuencia, donde en cada expresión de la marca en rojo los dos elementos que se intercambian en el siguiente paso (es decir, el que termina en el interior de los paréntesis en los detalles de la derivación de la anterior): $x^2$$Ahora, como usted puede ver, que$ab$viajes sólo significa que en todas partes donde$ab$ están uno al lado del otro, puede cambiarlos.

También tenga en cuenta que en ningún momento tuve que usar el inverso; de hecho, la única cosa que he utilizado es la asociatividad (y a la supuesta propiedad que $a$ $b$ viaje, por supuesto), por lo que la derivación de las obras siempre que tengas una operación asociativa, incluso si usted no tiene grupo, y, en particular, no inversos.

Answer 3

Aquí está una insinuación:

Escritura como $aabb=a(ab)b$ trate de usar $ab=ba$.

Answer 4

Comienzan con $abab=baba$ y $a(bab)=b(aba)$ y $a(ba)b=b(ab)a$ asociatividad dos veces. Luego, utilizando el commutativity $a(ab)b=b(ba)a$ o $aabb=bbaa$ como sea necesario.

Answer 5

ab $$^ 2 = bab = b ^ 2 una \ una ^ 2b ^ 2 = a(ab^2)=a(b^2a) = (ab ^ 2) una =(b^2a) a = b ^ 2a ^ 2$$