Probar la desigualdad

Question

Me topé con la siguiente desigualdad y tengo que probarlo.

$$\left(1+\frac{a}{b}\right)^x+\left(1+\frac{b}{a}\right)^x\ge 2^{x+1}$$

Voy a esperar a que el uso del Titular de la Desigualdad, pero parece que hay dos diferentes Hölder la Desigualdad. Parece que el uno con $1/p+1/q=1$ definitivamente no lo traje aquí. Para diferentes inequalityes ver el enlace de más abajo.

Añadido : Todas las variables anteriores son positivos.

P. S. Por Las Desigualdades Seguir Este.

Answer 1

Solución para los puntos críticos de la LHS, como una función de $a$ da\begin{align} x\left(1+\frac{a}{b}\right)^{x-1}\frac{1}{b} + x\left(1+\frac{b}{a}\right)^{x-1}(-ba^{-2}) &= 0\ a^{x+1}(b+a)^{x-1}-b^{x+1}(a+b)^{x-1}&=0\ a&=b, \end{align} puesto que todas las variables son positivas. Claramente la LHS diverge como $a\to 0$ o $a\to\infty$, así que este punto crítico es el mínimo global y la desigualdad sigue.

Answer 2

Esto se puede solucionar de AM-GM para 2 variables, es decir, $m+n\ge 2\sqrt{mn}$. Divida por $2^x$, que $t=\frac ab$ y esto convierte a $$\left(\frac{1+t}{2}\right)^{x} + \left(\frac{1+\frac{1}{t}}{2}\right)^{x} \ge 2.$ $

Aplicación de AM-GM en el lado izquierdo, se obtiene: $$\left(\frac{1+t}{2}\right)^{x} + \left(\frac{1+\frac{1}{t}}{2}\right)^{x} \ge 2\left(\frac{(1+t)(1+\frac{1}{t})}{4}\right)^{x/2}$ $

Queda por mostrar $(1+t)\Bigl(1+\frac{1}{t}\Bigr)\ge 4$. Esto puede demostrarse por Hölder en el caso de $p=q=\frac12, n=2$ (en realidad, AM-GM de 2 variables puede también demostrarse por Hölder).