Teorema Fundamental del Álgebra para otros campos que no $\Bbb{C}$, o ¿cuánto cuesta el Teorema Fundamental del Álgebra dependen de la topología y el análisis?

Question

Al probar el Teorema Fundamental del Álgebra, tenemos que apelar a la analítica y/o propiedades topológicas de $\Bbb{C}$$\Bbb{C}[z]$. Es este va a ser necesario, en general, y si es así, ¿en qué medida?

Es decir, supongamos que un campo de $K$ es dado, y que el deseo de mostrar que $K$ es algebraicamente cerrado. Hay cualquier cantidad de puramente algebraica de datos (guardar ese $K = F^{alg}$ campo $F$) que nos va a permitir decir que $K$ es algebraicamente cerrado? Por supuesto, la frase "puramente algebraica de datos" no está bien definido, pero me libremente significa que la información acerca de $K$ en relación a los campos de $E_i$ $K$ es una extensión, tales como los grados de las extensiones $K/E_i$ si $K = E_i(\alpha)$ algunos $\alpha\in K$, sus grupos de Galois $\operatorname{Gal}\left(K/E_i\right)$, lo $\operatorname{char}K$ es, y así sucesivamente (donde esta información no es precisamente la información que $K$ es construida como la algebraicas cierre de algunas de campo).

Si esto no es posible, ¿en qué punto no es necesario apelar a la topología y el análisis de $K$$K[x]$, y ¿cómo funciona este "punto" dependen $K$? Me doy cuenta de que exactamente cómo y dónde análisis y topología entran en juego para las diferentes $K$ dependerá de la naturaleza de la $K$, con lo que uno está trabajando, pero yo estaría interesado en saber cuáles son las propiedades de $K$ tienen el mayor efecto sobre la necesidad de análisis y topología en una prueba de que $K$ es algebraicamente cerrado. Por supuesto, la más general de estas propiedades, la mejor.

Nota: esta pregunta se aborda esta idea, en cierta medida, aunque la discusión no se centra más en la $\Bbb{C}$, y me gustaría considerar la posibilidad de una más general: el de las condiciones necesarias para mostrar cierto tipo de campo es algebraicamente cerrado, y cómo esas condiciones son diferentes para los diferentes tipos de campos.

Answer 1

Hay otra forma de conseguir una algebraicamente cerrado de campo: iniciar con $\mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z$, y contiguos a una $m$-ésima raíz de la unidad para cada número natural $m$ relativamente primer a $p$. En otras palabras, se acuestan todas las posibles raíces de la unidad a $\mathbb F_p$. Ese es el de la construcción, y ahora, por supuesto, el ejercicio de mostrar que el resultado es, de hecho, algebraicamente cerrado.

Answer 2

esto es tomado de los comentarios en el enlace a la pregunta que se ha publicado:

Deje $F$ ser un campo de característica $0$, e $K / F$ ser un finita de Galois de la extensión. Supongamos que todo polinomio de grado impar en $F[x]$ tiene una raíz en $F$, y cada polinomio de grado $2$ $K[x]$ tiene una raíz en $K$. A continuación, $K$ es algebraicamente cerrado.

También, resulta que algebraicamente cierres rara vez son finitos extensiones. De hecho, si $F$ es un campo y $C / F$ de un número finito de extensión que es algebraicamente cerrado, entonces $C=F(i)$ donde $i^{2}=-1$, e $F$ tiene características de las $0$. También para cada valor distinto de cero $a \in F$, $a$ o $-a$ es un cuadrado, y finito de sumas de cero plazas son cero plazas. La fuente de esto es Keith Conrad notas:

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/galoistheory/artinschreier.pdf

Answer 3

Como es muy común observar, el Teorema Fundamental del Álgebra no es un teorema de álgebra, pero del análisis de $\mathbb R$$\mathbb C$. Es el resultado de que "por el que se adhiere a la solución de la ecuación $x^2+1=0$ y cierre en virtud de las operaciones de campo, una vez que se obtiene, precisamente, todas las soluciones para todos los polinomios con coeficientes en este nuevo campo".

A la dirección de su segundo párrafo, creo que no hay mucha esperanza aquí. No hay ninguna información en la extensión de $K:K$, y no veo cómo la información acerca de las extensiones más adecuada subcampos de captura de $K$ algebraicamente cerrado. No tengo un buen argumento, aunque de un particular convincente ejemplo contrario.

Para abordar su tercer párrafo, no es inmediatamente un gran problema aquí. Si $K$ es un campo arbitrario, entonces no hay necesariamente ninguna topología en $K$, por lo general los campos de la cuestión ni siquiera se ponga en marcha.

Así, es necesario tener un poco de topología presente en un campo de $F$, y, a continuación, preguntar si las propiedades topológicas de $F$ son lo suficientemente fuertes para garantizar que se adhiere a la única solución a $x^2+1$ resultará en un algebraicamente cerrado de campo. Esto parece horriblemente demasiado general, pero de nuevo, yo no tengo ningún argumento claro o ejemplos convincentes.

Así que mi respuesta no le conteste nada, sino que intenta aclara la situación, con la esperanza de que otros contribuirá más interesantes respuestas.