Dividiendo un polígono en 4 partes iguales

Question

Tengo un polígono convexo y quiero dividirlo en 4 partes iguales usando las dos divisiones perpendiculares. Como en una imagen. Necesito s1 = s2 = s3 = s4; Necesito obtener las coordenadas del punto donde se cruzan las líneas y el ángulo de rotación del polígono. Creo que primero necesito dividir el polígono en 2 partes por la 1ª línea, luego por la 2ª línea. Luego obtengo el punto de cruce de las líneas y luego compruebo s1 = s2 = s3 = s4. Si no es así, necesito rotar el polígono a algún ángulo. ¿Hay algo mejor para este propósito?

Answer 1

Esto solo se aplica a polígonos convexos.

Podemos usar un argumento de continuidad. Fija una dirección $v\in S^1$: existe una (solo una) línea $t_v$ paralela a $v$ que divide el área del polígono en dos partes iguales, $L_v$ a la izquierda de $t_v$ y $R_v$ a la derecha de $t_v$. Por una razón similar, existe una (solo una) línea $l_v$ ortogonal a $t_v$ que divide en dos partes iguales $L_v$, y una (solo una) línea $r_v$, ortogonal a $t_v$, que divide en dos partes iguales $R_v$. Llamemos $P_L=t_v\cap l_v$ y $P_R=t_v\cap r_v$. Digamos que $v$ es "diestro" si $P_R-P_L$ tiene la misma dirección que $v", "siniestro" si $P_R-P_L$ tiene dirección opuesta. Si $v$ es diestro entonces $-v$ es siniestro, así que en algún punto entre $v$ y $-v$ debemos tener una dirección que no sea ni diestra ni siniestra, es decir, una solución para nuestro problema de división.

Y sí, esto es solo una consecuencia del teorema de Borsuk-Ulam.

Answer 2

Editar: Solo se aplica a polígonos simétricos, ver comentarios

Vamos a razonar físicamente. Supongamos que intentas equilibrar el polígono en una línea, si la línea no incluye el centro de masa (centroide) del polígono entonces es obvio que el polígono se inclinará hacia un lado y se caerá. Si no se inclina, entonces está en equilibrio y la masa (área) a cada lado del polígono debe ser igual.

A partir de este razonamiento, es obvio que cualquier línea que uses para cortar el polígono debe pasar por el centroide del polígono.

Bajo la restricción de que ambas líneas deben ser perpendiculares, te queda determinar la rotación del polígono. Puedes hacerlo mediante una búsqueda lineal a través de $[0,\frac{\pi}{2}[$ debido a la simetría del corte.