Signo del determinante de a $3 \times 3$ matriz con entradas $1+\alpha^{i+j-2}+\beta^{i+j-2}$ para distintos $\alpha,\beta\in\mathbb R\setminus\{1\}$

Question

Dejemos que $ \alpha\ne1,\beta\ne1$ sean las raíces reales distintas de la ecuación $$ax^2+bx+c=0,~~a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0$$ Dejemos que $S_n=\alpha^n+\beta^n,n\geq0$ y $$\Delta=\begin{vmatrix}1+S_0&1+S_1&1+S_2\\1+S_1&1+S_2&1+S_3\\1+S_2&1+S_3&1+S_4\end {vmatrix}$$ entonces

(A) $\Delta\leq0$

(B) $\Delta>0$

(C) $\Delta<0$

(D) $\Delta=0$

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Aquí $S_0=\alpha^0+\beta^0,S_1=\alpha^1+\beta^1,S_2=\alpha^2+\beta^2,S_3=\alpha^3+\beta^3,S_4=\alpha^4+\beta^4$

$S_0=2,S_1=\frac{-b}{a},S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2},S_3=\frac{-b^3}{a^3}+\frac{3abc}{a^3},S_4=\frac{b^4-6a^2c^2+4bca^2}{a^4}$

Si pongo estos valores y simplifico, se convierte en una expresión muy complicada, difícil de simplificar y juzgar el signo de $\Delta$ . ¿Existe algún otro método posible para poder determinar fácilmente el signo de $\Delta$ ?

Answer 1

Sugerencia: Deja que $$A:= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{bmatrix} $$ entonces calcula $AA^T$ para ver lo que obtienes.

Answer 2

Sugerencia ver el determinante de Vandermonde o escribirlo como una multiplicación de dos determinantes