Recordando algunos conceptos básicos de la teoría de la Mentira, he encontrado una divertida prueba de las principales lema en la Mentira del teorema sobre la triangularidad de las representaciones de la solución álgebras de Lie. Resulta que esta prueba tiene una muy clara e intuitiva de la idea (me pregunto por qué no se lo explican a los estudiantes), que presento a continuación en un nonrigorous manera.
Mi pregunta es: ¿cómo, exactamente, se puede ver a partir de la idea de que su formalización se requiere característica 0 (o al menos la dimensión, o lo que sea)? Lo que va mal con la propuesta de imagen geométrica en el carácter $p$? O lo que debe ser añadido al sector informal de la lengua que utilizo para hacer esto explícito? Por supuesto, también tengo una versión formal de la misma, que involucran polinomios característicos, y lo hace escupir algunas constantes que tiene que ser distinto de cero en la final, pero estoy pidiendo una explicación geométrica.
Así que aquí va. Deje $\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}$ un ideal en una Mentira álgebra, vamos a $V$ ser finito-dimensional representación de $\mathfrak{g}$, y deje $\lambda$ tener un peso de su restricción a $\mathfrak{h}$. A continuación, el peso correspondiente espacio de $V_\lambda$ $\mathfrak{g}$- invariante.
La "prueba". Claramente todo se reduce a mostrar que la $\langle \lambda, [g,h] \rangle = 0$ todos los $g \in \mathfrak{g}, h \in \mathfrak{h}$. Ahora vamos a $\langle \lambda, h\rangle$ ser un autovalor de a $h$ de la multiplicidad, al menos,$m$, para todos los $h \in \mathfrak{h}$. Vamos a ampliar nuestro anillo de escalares por un nilpotent $\epsilon^2 = 0$ hacer un infinitesimal de la perturbación.
Por un lado, $h + \epsilon [g,h]$ está todavía en $\mathfrak{h}$ (o más bien en su extensión), ya que es un ideal. Por lo que tiene un autovalor $\langle \lambda, h \rangle + \epsilon \langle \lambda, [g,h] \rangle$ de la multiplicidad $\ge m$.
Por otro lado, $h + \epsilon [g, h]$ es conjugado a $h$ ( $h + \epsilon [g, h] = (1 + \epsilon g) h (1 + \epsilon g)^{-1}$ ), por lo tanto deben tener el mismo espectro,$h$. Por lo tanto, además de tener un autovalor $\langle \lambda, h \rangle + \epsilon \langle \lambda, [g,h] \rangle$ también tiene un autovalor $\langle \lambda, h \rangle$, tanto de la multiplicidad $\ge m$. Por lo tanto, cualquiera de las $\langle \lambda, [g, h] \rangle = 0$ todos los $h$ (en cuyo caso no hay nada a la izquierda para probar) o $h$ debe haber tenido el autovalor $\lambda$ con multiplicidad $\ge m+1$. Por otra parte, esto ocurre para todos los $h$. Ahora ejecute el mismo argumento para $m+1$ en lugar de $m$, y en algún momento se va a exceder la dimensión.
