Reescribiendo la ecuación matricial $AX = YB$ como $Y = CX$ ?

Question

¿Es posible en general, si $A,B,C,X,Y$ son cuadradas y de las mismas dimensiones? Si es así, ¿se generaliza a las matrices no cuadradas (utilizando una pseudoinversa)? Estoy haciendo un ajuste de curvas en el que tengo que estimar las dos polarizaciones independientes de una señal dados los datos de múltiples detectores y la función de respuesta escalar para cada polarización (análisis de datos LIGO). Poder reescribir la ecuación anterior en general permitiría expresar los valores ajustados vistos desde múltiples detectores (Y) como una función explícita de X, los datos vistos en cada detector, y permitiría un cálculo de validación cruzada generalizado para elegir un parámetro de regularización.

Gracias.

Answer 1

No.

Partiendo de la ecuación matricial $AX=YB$ , suponiendo que se pueda invertir $B$ puede escribir $Y = AXB^{-1}$ . Ahora, cada elemento de $Y$ es una combinación lineal de todos los elementos de $X$ .

Ahora mira $Y=CX$ . Cada elemento de $Y$ es una combinación lineal sólo de la columna correspondiente de $X$ (pero no la fila).

La ecuación matricial sí relaciona los elementos de $X$ y $Y$ linealmente, sin embargo, por lo que se puede escribir $\mathrm{vec}(Y) = C\,\mathrm{vec}(X)$ donde se escribe cada matriz como un vector encadenado. Esto significa que $C$ es un $n^2 \times n^2$ si sus matrices originales eran $n\times n$ .

Answer 2

En general no va a ser posible.

Ejemplo: Sea $ A = Y = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ y $ X = B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. $

Entonces $AX=YB$ pero no importa lo que $C$ que tú elijas, $CX$ tiene $0$ en su segunda columna y, por tanto, no puede ser igual a $Y$ .