División de campo el % polinomio $x^3 + 1 \in \mathbb{Z}_2[x]$está un subcampo del campo División de $x^5 + 1 \in \mathbb{Z}_2[x]$

Question

Muestran que la división de campo para el polinomio $x^3 + 1 \in \mathbb{Z}_2[x]$ es un subcampo de la división de campo de la $x^5 + 1 \in \mathbb{Z}_2[x]$.

No estoy seguro de cómo construir la división de los campos, en primer lugar, cuando somos más de $\mathbb{Z}_2[x].$ sé que ambos tienen 1 como raíz, ya que estamos en $\mathbb{Z}_2[x]$. Estoy pensando que el grado de la división de campo de $K_1$ $x^3 + 1$ debe $3$ y el grado de la división de campo de $K_2$ $x^5 + 1$ va a ser$5,$, en cuyo caso $K_1$ podría no ser un subcampo de la $K_2.$ Lo que me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

Lo que te falta es que en el campo $\Bbb F_2$ con dos elementos, el % de factorizaciones $X^3+1=(X+1)(X^2+X+1)$y $X^5+1=(X+1)(X^4+X^3+X^2+X+1)$

Así, el primer campo que es cuadrático en $\Bbb F_2$, y así que tiene cuatro elementos, mientras que (*) la segunda es cuártica $\Bbb F_2$, con dieciséis elementos.

() Que quartic es $\Bbb F_2$-irreductible, no es difícil demostrar, desde $X^2+X+1$ la es sólo* irreducible cuadrático sobre ese campo poco.

Answer 2

$\mathbb F_{16}$ contiene ambos campos partir porque su grupo multiplicative es cíclico de orden $15$.

Ya que $\mathbb F{16}$ $4$ $\mathbb F{2}$ de grado, sólo puede tener adecuados subcampos de grado $2$, es decir, de tamaño $4$.

El campo División de $x^{5}+1$ contiene menos elementos de $6$ y así debe ser $\mathbb F_{16}$.