¿Hay sólo una manera de hacer $\mathbb R^2$ un campo?

Question

Creo que leí una respuesta a esta pregunta antes pero no lo encuentro por búsqueda.

Podemos hacer $\mathbb R^2$ un campo definiendo además como multiplicación normal y definir por multiplicación compleja, por lo $(u,v) \times (x,y) = (ux-vy,uy+vx)$ y satisface los axiomas de campo. Sé definir multiplicación $(u,v) \times (x,y) = (ux,vy)$ no funciona como $(0,1)$ no tiene por ejemplo inversa. ¿Pero hay otra forma en la que podríamos definir multiplicación en $\mathbb R^2$ que satisfaga los axiomas de campo, manteniendo además vector normal?

Answer 1

La respuesta de Hagen von Eitzen da la respuesta correcta si exigimos que la multiplicación de que estamos construyendo es compatible con el usual de la multiplicación en $\mathbb{R}$. Sin embargo, si no hacemos esa suposición, entonces hay muchos que no isomorfos de las estructuras del campo en $\mathbb{R}^2$.

Para ver esto, vamos a $F$ ser cualquier campo de característica cero y cardinalidad $|\mathbb{R}|$. Pretendemos que $F$ es isomorfo como un campo de $\mathbb{R}^2$ para una elección adecuada de la multiplicación para $\mathbb{R}^2$.

Para ver esto, observamos que tanto en $F$ $\mathbb{R}^2$ tiene la estructura de una $\mathbb{Q}$-espacio vectorial. Por otra parte, mirando las cardinalidades, cada uno tiene dimensión$|\mathbb{R}|$$\mathbb{Q}$. Desde espacios vectoriales con la misma dimensión son isomorfos, esto significa que hay un isomorfismo lineal $\phi: F \to \mathbb{R}^2$.

Desde $\phi$ es un isomorfismo, se puede utilizar para definir una multiplicación $\cdot : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ por el transporte de la estructura: tan sólo tenemos que definir $a \cdot b = \phi(\phi^{-1}(a) \cdot \phi^{-1}(b))$ todos los $a, b \in \mathbb{R}^2$. Ahora $\phi$ conserva no sólo la suma (que ya lo hice porque es lineal), sino también la multiplicación (por construcción). Desde $F$ es un campo, y $\phi$ es un bijection, esto demuestra directamente que $\mathbb{R}^2$ con esta multiplicación y la costumbre, además es un campo, y de hecho isomorfo a $F$.

Una sorprendente consecuencia es que el $\mathbb{R}^2$ tiene una multiplicación de tal manera que es isomorpic a $\mathbb{R}$! Por desgracia, hemos demostrado la existencia de esta multiplicación usando el axioma de elección, por lo que podría no ser posible dar un "directo", desciption de esta multiplicación.

Answer 2

Hasta el isomorfismo, sólo hay un campo que es espacio vectorial de dimensión dos más de los reales: Si $F$ es un campo, entonces $1_F\cdot \Bbb R$ es un subcuerpo isomorfo a $\Bbb R$ (a partir de ahora identificado con $\Bbb R$) y para cualquier $\alpha\in F\setminus \Bbb R$, sabemos que $1,\alpha,\alpha^2$ $\Bbb R$- linealmente dependientes, es decir, $\alpha$ es la raíz de una ecuación cuadrática polinomio con coeficientes reales. Esto nos permite identificar a $\alpha$ con cualquiera de las dos raíces del polinomio que tiene en $\Bbb C$, lo que lleva a un isomorfismo $F\to \Bbb C$.

Así que para definir una multiplicación en $\Bbb R^2$ que lo convierte en un campo, tenemos que

• elige una base $e_1,e_2$ $\Bbb R^2$
• considere el espacio vectorial isomorfismo $\Bbb R^2\to \Bbb C$ dada por $e_1\mapsto 1$, $e_2\mapsto i$.
• definir una multiplicación $\odot $ $\Bbb R^2$ $v\odot w = f^{-1}(f(v)\cdot f(w))$

La elección de la base produce una válida la multiplicación, y las distintas bases principalmente de plomo para disitinct multiplicaciones (a excepción de la $(e_1,e_2)$ $(e_1,-e_2)$ de plomo a la misma multiplicación)