Transformada de Fourier de una función de soporte compacto

Question

Mi profesor ocasionalmente se asigna opcional problemas difíciles que no nos volvemos de Stein y Shakarchi del Análisis Complejo. Actualmente estoy estudiando para un examen en la clase y tratar de conseguir todas estas opcional problemas respondió. Uno de los problemas que él nos dio es Problema 2 del Capítulo 4 en la página 132, que puede encontrar aquí http://carlossicoli.free.fr/S/Stein_E.M.,_Shakarchi_R.-Complex_Analysis-Princeton_univ_press(2003).pdf actualmente estoy trabajando en la parte (a)

Supongamos que f tiene delimitada apoyo y es de clase $C^2$. Para $z \in \mathbb{C}$, vamos a $\hat{f}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-2\pi izt} dt$. Se supone que debo observar que $\hat{f}$ es toda una función, y usando integración por partes muestran que fija $a\ge 0$ $|y|\le a$ implica que para algunas constantes $C_a$, $|\hat{f}(x+iy)|\le \frac{C_a}{1+x^2}$. Se dice que observe $\hat{f}$ es toda una función, así que supongo que es algo sencillo pero no lo veo. Tal vez voy a tener que evaluar la integral primera. Lo que me lleva a la integración por partes. Estoy luchando con la que, sin conocer la función f específicamente. He intentado utilizar $f$ $u$ y la función exponencial como $dv$ pero no consiguió nada. Por lo tanto, yo estoy aquí pidiendo su ayuda. Gracias!

Answer 1

Una manera sencilla de demostrar que $\hat{f}$ es toda una función es escribir $$ \hat{f}(z) = \int_{-R}^{R}f(t)e^{2\pi izt}\,dt = \int_{-R}^{R}f(t)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2\pi izt)^{n}}{n!}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2\pi iz)^{n}}{n!}\int_{-R}^{R}t^{n}f(t)\,dt, $$ donde $f(t)=0$ fuera de $[-R,R]$. Intercambio de integración y totalización está permitido porque el $f$ se apoya en un intervalo finito $[-R,R]$ y debido a que la serie de la exponencial converge absoluta y uniformemente en $|tz| \le r$ fijos $r > 0$. Por lo que la serie de la derecha converge para cada uno de ellos fijo $z$, lo que significa que la serie debe ser toda una función de $z$ con una infinita radio de convergencia.

Suponga que $f$ se desvanece para $|t| \ge R$, y deje $M$ ser un límite para$f$$[-R,R]$. Entonces, para $|\Im z| \le \alpha$, $$ \left|\int_{-R}^{R}f(t)e^{2\pi itz}\,dt\right| \le \int_{-R}^{R}|f(t)|e^{2\pi\alpha|t|}\,dt \le 2RMe^{2\pi R\alpha}. $$ Deje $N$ ser un límite para$f''$$[-R,R]$. A continuación, el campo lejano, el obligado es mejor. Para$|\Im z| \le \alpha$$z\ne 0$, integración por partes dos veces al da $$ \left|\int_{-R}^{R}f(t)e^{2\pi izt}\,dt\right| = \left|\frac{1}{(2\pi i z)^{2}}\int_{-R}^{R}e^{2\pi itz}f"(t)\,dt\right| \le \frac{2RNe^{2\pi R\alpha}}{4\pi^{2}|z|^{2}}. $$ No es difícil de combinar en una sola estimación $$ |\sombrero{f}(x+iy)| \le \frac{C_{\alpha}}{1+x^{2}},\;\;\; |s| \le \alpha. $$

Answer 2

Sí, como usted probablemente ha descubierto que puede hacer la diferenciación bajo el signo integral; la razón podría ser que usted está diferenciando con respecto a z, y todas las cosas bajo el signo es wrt t.

Puedo empezar aquí. Podría escribir $e^{-2\pi it}$$e^{-2 \pi ixt}e^{2 \pi yt}$. Tienes un límite en $e^{2 \pi yt} \le e^{2 \pi at}$ y el otro exponencial es naturalmente limitada. Creo que la integración por partes u(t) = f(t)$ e^{2 \pi at}$ y v'(t) = $e^{-2\pi ixt}$. Puede ser que usted lo desea, puede integrar por partes dos veces y comparar con el original de la integral. Usted puede hacer eso porque f es $C^2$.

Vea si usted puede conseguir lejos con esto.