Reverso de la declaración de continuidad uniforme en un compacto.

Question

Si un conjunto$C$ es compacto, entonces todas las funciones continuas en un conjunto$C$ son uniformemente continuas.

¿Se mantiene lo contrario?

Pregunta: ¿ Si todas las funciones continuas en un conjunto$C$ son uniformemente continuas, entonces$C$ es compacto?

Answer 1

No. Considere el espacio métrico$(\mathbb{N}, d)$, donde$d$ es la métrica euclidiana. Entonces cada función es uniformemente continua, pero el espacio no es compacto.