Si $\alpha$ es una curva de velocidad de la unidad de curvatura constante en una esfera, $\alpha$ es un círculo.

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema, pero se quedó atascado en el camino. Me gustaría un poco de ayuda en conseguir a través de esto.

Probar que si $\alpha$ es una unidad de velocidad de la curva de curvatura constante acostado en una esfera, a continuación, $\alpha$ es un círculo.

Solución: Mi objetivo es mostrar que la torsión es cero.

Tenemos $\alpha \cdot \alpha =r^2$, por lo que tomar los derivados, $T \cdot \alpha =0$. Así que podemos dejar a $\alpha=xN+yB$ para algunas funciones $x$$y$. Ahora la diferenciación de la ecuación anterior de nuevo, obtenemos $T' \cdot \alpha + T\cdot T=0$, por lo que el uso de Frenet Fórmula, obtenemos $\kappa N \cdot \alpha =-1$, y otro de la diferenciación y de Frenet Fórmula yield $\tau B\cdot \alpha =0$.

Así que por la asunción en $\alpha$, obtenemos $\tau y=0$.

Sin embargo, aquí es donde tengo un problema. Si yo sé que $y\neq0$, entonces estoy hecho. Pero no puedo garantizar que $y$ es distinto de cero, por lo que no puedo demostrar que $\tau$ debe ser cero. ¿Cómo puedo solucionar esto?

Les agradecería mucho cualquier soluciones o sugerencias.

Answer 1

Supongo que $\tau$ es distinto de cero. $B \cdot \alpha = 0$, Que $\alpha = -\frac{1}{\kappa} N$. Diferenciando esta vez da: $$T = - \frac{1}{\kappa} \frac{dN}{dt} = - \frac{1}{\kappa} (-\kappa T + \tau B) = T-\frac{\tau}{\kappa} B$$ que significa $\tau = 0$!