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Equivalencia de definición para K3 polarizado

En la literatura existen dos definiciones diferentes de las lentes polarizadas 3d de superficies.

1) Un polarizadas 3d es el de los datos de $(X,\omega)$. Donde $X$ es un 3d de la superficie y $\omega$ es una amplia clase en $H^2(X,\mathbb{Z})$.

2) Un polarizadas 3d es la de datos de un 3d de la superficie de $X$ junto con una polarización en la descomposición de Hodge $H^2(X,\mathbb{Z})$, que es un emparejamiento $H^2(X,\mathbb{Z}) \times H^2(X,\mathbb{Z}) \rightarrow \mathbb{Z}$. Tal polarización está dado por la intersección de emparejamiento: $$(v,w) \mapsto \int_X v \wedge w\;.$$

Esto, junto con una observación de Huybrechts notas de la conferencia en 3d de superficies en la página 40:

...no es la intersección de emparejamiento que define a una polarización, pero la vinculación que se obtiene a partir de él cambiando el signo de la intersección de emparejamiento para una amplia clase.

justifica la siguiente pregunta.

Pregunta: ¿Cómo la elección de una amplia clase de $\omega$ entra en la definición de la intersección de emparejamiento?

Es claro que necesitamos una clase para definir una polarización en menor grado cohomology grupos, por ejemplo en $H^1(X,\mathbb{Z})$. Y el bien de la definición de la intersección de emparejamiento está relacionado con la existencia de una amplia clase (es decir, la projectivity de $X$). Pero no veo cómo la intersección de emparejamiento cambiaría el cambio de la elección de los salones de clase.

Es posible (o incluso probable) que me estoy haciendo un lío enorme de la nada, pero estoy muy confundido. Gracias de antemano!

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YequalsX Puntos 320

La intersección de emparejamiento en $H^2$ es no degenerada (por la dualidad de Poincaré) y es simétrica (estamos considerando incluso dimensiones cohomology), pero no es positiva definida. Uno puede "cambiar el signo" de la intersección de vinculación a hacer es positiva definida, pero el cambio de signo no es uniforme (es decir, no hay una sola señal de que usted tiene que cambiarla).

A grandes rasgos, con el fin de definir una polarización en $H^2$, usted tiene que descomponer $H^2$ en una suma directa de la extensión de los salones de clase y la primitiva cohomology, y considerar cada uno de ellos por separado. Para obtener más detalles, consulte este MO respuesta. (Por lo que su segunda definición de la polarización no es correcta; una polarización no es dado por la intersección de emparejamiento; es una modificación de la intersección de emparejamiento para conseguir una cierta positividad propiedades, y la modificación depende de la elección de los salones de clase.)

Si usted desea aprender más acerca de esto, las palabras clave son primitivos cohomology, Lefschetz de descomposición, y Hodge--Riemann bilineal relaciones. Por desgracia, la wikipedia no parece dar mucho detalle sobre estos temas; Griffiths y Harris tiene un breve bosquejo cerca del final de su discusión Hodge teoría en el Capítulo 0.

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