Derivado del valor absoluto de la función con valores de complejo

Question

Me preguntaba si era una buena fórmula para algo como

$$ \dfrac{\partial}{\partial x} \left| e^x + (1+i)e^{-x} \right|. $$

(Tenga en cuenta que la función es elegido a propósito para no tener la discontinuidad de la derivada, como argumento a la función de valor absoluto nunca pasa por cero.)

Por lo que he escrito en WolframAlpha:

D[|exp(x) + (1+i)*exp(-x)|, x]

y dijo:

Eh!? ¿Qué componente imaginario?

Answer 1

Con Wolfram Alpha, obtienes lo que pagas.

Si $f(x)=|e^x+(1+i)e^{-x}|$ y $$F(x)=f(x)^2=(e^x+e^{-x})^2+e^{-2x}=e^{2x}+2+2e^{-2x}.$ $ entonces $F'(x)=2f(x)f'(x)$ y así $$f'(x)=\frac{F'(x)}{2f(x)}=\frac{e^{2x}-2e^{-2x}}{f(x)}.$ $

Answer 2

Bien por lo que sé, $|e^x+(1+i)e^{-x}|=\sqrt{(e^x+e^{-x})^2+e^{-2x}}=\sqrt{e^{2x}+2+2e^{-2x}}$.

Tomar el derivado de para obtener $\dfrac{\partial}{\partial x}|e^x+(1+i)e^{-x}|=\boxed{\displaystyle \frac{e^{2x}-2e^{-2x}}{\sqrt{e^{2x}+2+2e^{-2x}}}}$.