Si calcula el $P_n(1)=1$ $P'_n(1)$ en polinomios de Legendre

Question

$P_n(x)$ se encuentra en $[-1,1]$ y $P_n(1)=1$. El problema es conseguir $P'_n(1)$. En Wikipedia dice que es $\frac{n(n+1)}2$.

Derivan el problema demostrado aquí ¿Cómo podría demostrar que $P_n (1)=1=-1$ para el Legendre polinomios? para P'(n) pero no ayudó mucho.

Answer 1

La función generadora para los polinomios de Legendre es\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} P_n(z) h^n =\frac{1}{\sqrt{1-2hz+h^2}}. \end{eqnarray } distinguen este w.r.t $z$\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} P^{'}_n(z) h^n =\frac{(-1/2)(-2h)}{(1-2hz+h^2)^{3/2}}. \end{eqnarray } conjunto de $z=1$\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \color{red}{P^{'}n(1)} h^n =\frac{h}{(1-h)^{3}} =\sum{n=0}^{\infty} \color{red}{\binom{n+1}{2}} h^n. \end{eqnarray }

Answer 2

Por otra parte, sigue directamente de la ecuación diferencial de Legendre $$(1 - x^2) y'' - 2xy' + n(n + 1) y = 0.\tag1$ $

Desde $y = P_n(x)$ es una solución (1) $$(1 - x^2) P''_n(x) - 2x P'_n (x) + n(n + 1) P_n (x) = 0.$ $ ajuste $x = 1$ en la ecuación anterior conduce a $$P'_n (1) = \frac{n(n + 1)}{2} P_n (1).$ $ pero desde que ya se sabe que $P_n (1) = 1$, luego sigue inmediatamente el resultado deseado.

Answer 3

Sigue por la inducción de la repetición $$ (n +1) P_{n+1}(x) = (2n +1) x Pn(x) - n P{n-1}(x) $$ sólo distinguir ambos lados y usar que $P_n(1)=1$.