Algunos libros relativamente estándar de "2º curso" son (o al menos lo han sido en algún momento)
Conway, Funciones de una variable compleja II (1995)
Hille, Teoría de las funciones analíticas Volumen II (1962)
Saks/Zygmund, Funciones analíticas (1952)
Veech, Un segundo curso de análisis complejo (1967; reedición Dover 2008)
No conozco mucho el libro de Conway, pero sí sé que su anterior "Volumen I" es un clásico. He hecho un par de cursos con él, uno de ellos impartido por el propio Conway. El libro de Hille está muy bien escrito, con muchas digresiones históricas y tangenciales (su "Volumen I" es quizás aún más distinguido en este sentido), y el libro de Veech fue reimpreso por Dover hace unos años, así que probablemente sea más conocido ahora que hace 10 años (es decir, probablemente puedas encontrar algunos comentarios en internet sobre el libro de Veech). Saks/Zygmund es un clásico, probablemente demasiado viejo para el estudio primario ahora, pero por lo que vale, este fue el texto utilizado para el curso de análisis complejo de nivel avanzado de postgrado en la Univ. de Carolina del Norte en la década de 1970 (ofrecido cada dos años, siendo Ahlfors el texto para el curso de análisis complejo de postgrado principiante que se ofrecía cada año).
Además de tener en cuenta estos libros, puede que quieras empezar a pensar en cuáles son tus intereses "finales". Por ejemplo, si eres un analista empedernido al que no le gustan las imágenes, entonces podrías inclinarte por algo como
Boas, Funciones completas (1954)
Holanda, Introducción a la teoría de las funciones enteras (1973)
Por otro lado, si realmente te gustan los aspectos geométricos del análisis complejo, entonces puede que quieras orientarte hacia algo como
Väisälä, Conferencias sobre n -Mapas cuasiconformes dimensionales (1971)
Iwaniec/Martin, Teoría de las funciones geométricas y análisis no lineal (2001)
Krantz, Teoría de las funciones geométricas (2006)
El análisis complejo es un campo ENORME, y en algún momento tendrás que empezar a reducir tu enfoque. Cualquiera de los siguientes temas (elegidos de la nada por alguien que no tenga mucho conocimiento del tema) es más que suficiente para toda una vida de estudio e investigación: varias variables complejas, cosas de la función zeta (serie de Dirichlet, hipótesis de Riemann, teorema de los números primos), teoría de la sumabilidad, propiedades de los límites de las funciones, distribución de los ceros de las funciones enteras, iteración de funciones, productos de Blaschke, etc.
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Podrías considerar echar un vistazo a Remmert's Temas clásicos de la teoría de las funciones complejas . Se trata de una continuación de su libro de introducción al análisis complejo. Otras posibilidades serían leer libros sobre superficies de Riemann o sobre varias variables complejas, pero no puedo recomendar ninguno.