Dada una diferencial exacta; ¿Cómo encontrar la función que satisface la diferencial?

Question

Supongamos que tenemos un diferencial: $$\mathrm{d}u=y\mathrm{d}x + (x+2y)\mathrm{d}y\tag{1}$$ y un diferencial general: $$\mathrm{d}u=\underbrace{P(x,y)}_{\color{#F80}{\dfrac{\partial u}{\partial x}}}\mathrm{d}x +\underbrace{Q(x,y)}_{\color{#A0F}{\dfrac{\partial u}{\partial y}}}\mathrm{d}y\tag{2}$$ donde $u$ , $P$ y $Q$ son funciones desconocidas de $x$ y $y$ las derivadas parciales por debajo de los apoyos muestran que $(2)$ es también la derivada total. Comparando $(1)$ con $(2)$ tenemos que $P=y$ y $Q=x+2y$ .

$(1)$ es una diferencial exacta ya que $$\frac{\partial P}{\partial y}=1=\frac{\partial Q}{\partial x}=1$$

En mis notas dice que para encontrar $u$ integramos y $\color{red}{\fbox{match}}$ tal que $$P=\color{#F80}{\frac{\partial u}{\partial x}}=y$$ $$\begin{align}\implies \color{#180}{u = xy +\color{black}{\overbrace{f(y)}^{\Large ?}}\quad\quad\quad\quad\tag{A}}\end{align}$$ donde $f(y)$ es una función desconocida de $y$ .

De la misma manera, $$Q=\color{#A0F}{\frac{\partial u}{\partial y}}=x+2y$$ $$\begin{align} \implies \color{#180}{u=xy + y^2 + \color{black}{\overbrace{g(x)}^{\Large?}}\quad\quad\tag{B}}\end{align}$$ donde $g(x)$ es una función desconocida de $x$ .

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Comparando ambos requisitos vemos que $\color{blue}{u=xy + y^2 + c}$ donde $c$ es una constante.

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La primera parte que me confunde de estas notas es la palabra $\color{red}{\fbox{match}}$ . Qué ¿coincidimos?

Mi interpretación de la palabra $\color{red}{\fbox{match}}$ en este contexto significa que si $u = xy +f(y)$ Y $u=xy + y^2 + g(x)$ entonces $u=xy+y^2 + f(y) +f(x)$ pero obviamente no es lo mismo que $\color{blue}{u=xy + y^2 + c}$ . ¿Por qué mi interpretación es errónea?

Mi segunda consulta está marcada con signos de interrogación por encima de las sobrecargas de las ecuaciones $\color{#180}{(\mathrm{A})}$ y $\color{#180}{(\mathrm{B})}$ .

Después de integrar $\color{#180}{(\mathrm{A})}$ y $\color{#180}{(\mathrm{B})}$ con respecto a $x$ y $y$ respectivamente; no entiendo por qué necesitamos una función desconocida de $x$ ; $f(x)$ y una función desconocida de $y$ ; $f(y)$ . ¿Por qué estas funciones deben estar presentes en $\color{#180}{(\mathrm{A})}$ y $\color{#180}{(\mathrm{B})}$ ?

Answer 1

Tenemos dos ecuaciones

\begin {align*} u &= xy + f(y) && \color {#180}{( \mathrm {A})} \\ u &= xy + y^2 + g(x) && \color {#180}{( \mathrm {B})} \end {align*}

Las dos expresiones de la derecha son iguales a $u$ y, por lo tanto, entre sí (estamos "emparejando" las dos expresiones para $u$ ), por lo que vemos que

\begin {align*} xy + f(y) &= xy + y^2 + g(x) \\ f(y) &= y^2 + g(x). \end {align*}

Como el lado izquierdo sólo depende de $y$ pero no en $x$ lo mismo debe ocurrir con el lado derecho. De ello se deduce que $g(x)$ debe ser una función constante, $g(x) = c$ Así que $f(y) = y^2 + c$ . Sustituyendo en cualquiera de los dos $\color{#180}{(\mathrm{A})}$ o $\color{#180}{(\mathrm{B})}$ obtenemos la solución $u = xy + y^2 + c$ .

En cuanto a su segunda pregunta, dada la ecuación $\frac{\partial u}{\partial x} = y$ nos gustaría determinar $u$ . Es decir, queremos una función $u$ tal que su derivada parcial con respecto a $x$ es $y$ . Por supuesto $xy$ es una de esas funciones, pero también lo es $xy + f(y)$ para cualquier función $f$ porque $\frac{\partial}{\partial x}f(y) = 0$ . Esta es precisamente la misma razón por la que añadimos una constante de integración al antidiferenciar una función de una variable.

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Este es el otro enfoque que mencioné en mi comentario.

Tenemos la ecuación $\color{#180}{(\mathrm{A})}$ y sabemos $\frac{\partial u}{\partial y} = x + 2y$ . Diferenciando $\color{#180}{(\mathrm{A})}$ con respecto a $y$ tenemos ahora las dos ecuaciones

\begin {align*} \frac { \partial u}{ \partial y} &= x + f'(y) \\ \frac { \partial u}{ \partial y} &= x + 2y. \end {align*}

Por lo tanto,

\begin {align*} x + f'(y) &= x + 2y \\ f'(y) &= 2y \\ f(y) &= y^2 + c. \end {align*}

Sustituyendo esto en $\color{#180}{(\mathrm{A})}$ vemos que $u = xy + y^2 + c$ .