Demostrar utilizando reglas de inferencia

Question

Tengo problemas para probar esto usando reglas de inferencia...

$(A\to (B\to C)\to (B\to (\sim C\to\, \sim A ))$

Quizás, debo comenzar con $A\to (\sim B\lor C)$??

¡Ayuda!

Answer 1

Este tipo de derivación realmente debería causar ningún problema si usted piensa estratégicamente.

Piensa: ¿cuál es el valor predeterminado de la estrategia para probar la existencia de un condicional en un sistema de deducción natural? Asumir el antecedente y tratar de derivar la consecuente; entonces se puede aplicar condicional de la prueba. Así que vamos a ir a por este. Así que ahora debería ser el objetivo de llenar en los puntos en los siguientes

$\quad\quad|\quad (A \to (B \to C)) \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \text{Assumption, for the sake of argument} \\ \quad\quad|\quad \ldots \\ \quad\quad|\quad (B \to (\neg C \to \neg A)) \\ (A \to (B \to C)) \to (B \to (\neg C \to \neg A)) \quad \quad\ \ \ \text{CP: Discharging the initial assumption} $

Ahora mira el nuevo objetivo que desea probar. Es otro condicional! Vamos a utilizar la misma estrategia, asumir el antecedente y el objetivo para el consecuente, de modo que podemos aplicar CP. Así que ahora la prueba de contorno tendrá este aspecto:

$\quad\quad|\quad (A \to (B \to C)) \\ \quad\quad|\quad\quad | \quad B \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \text{A further assumption, for the sake of argument}\\ \quad\quad|\quad\quad |\quad \ldots \\ \quad\quad|\quad\quad | \quad (\neg C \to \neg A)\\ \\ \quad\quad|\quad (B \to (\neg C \to \neg A)) \quad \quad\quad\quad\quad\ \ \ \text{CP: Discharging the second assumption} \\ (A \to (B \to C)) \to (B \to (\neg C \to \neg A))$

Y no, bajo y he aquí, su nuevo objetivo de demostrar que es otro condicional! Usted sabe qué hacer ... quieres completar el siguiente :

$\quad\quad|\quad (A \to (B \to C)) \\ \quad\quad|\quad\quad | \quad B \\ \quad\quad|\quad\quad | \quad \quad|\quad \neg C \\ \quad\quad|\quad\quad|\quad\quad |\quad \ldots \\ \quad\quad|\quad\quad | \quad \quad|\quad \neg A \\ \quad\quad|\quad\quad | \quad (\neg C \to \neg A)\\ \\ \quad\quad|\quad (B \to (\neg C \to \neg A)) \\ (A \to (B \to C)) \to (B \to (\neg C \to \neg A))$

ACEPTAR su nuevo destino es $\neg A$, el uso de los tres primeros supuestos. Puede usted ver cómo llegar? En caso de duda, trate de probar una negación uso de reductio, por lo que la prueba va a ir

$\quad\quad|\quad (A \(B \C)) \\ \quad\quad|\quad\quad | \quad B \\ \quad\quad|\quad\quad | \quad \quad|\quad \neg C \\ \quad\quad|\quad\quad|\quad\quad | \quad \quad|\quad \\ \quad\quad|\quad\quad|\quad\quad|\quad\quad |\quad \ldots \\ \quad\quad|\quad\quad|\quad\quad|\quad\quad |\quad \mathrm{Contradicción} \\ \quad\quad|\quad\quad | \quad \quad|\quad \neg \quad\quad\quad\quad\quad\quad\text{Reductio: el desempeño de la asunción }\\ \quad\quad|\quad\quad | \quad (\neg C \a \neg a)\\ \\ \quad\quad|\quad (B \a (\neg C \a \neg)) \\ (A \(B \C)) \(B \a (\neg C \a \neg))$

Y ahora usted puede llenar en los puntos (usar nuestra última hipótesis con el inicial, se aplican modus ponens, etc.). La prueba prácticamente se ha escrito a sí mismo!

Dos moral: (1) pensar estratégicamente y este tipo de texto-libro de deducción natural ejemplo se suele caer muy fácilmente, con un poco de paciencia!

(2) Mediante una de las formas estándar de la claridad de la representación gráfica de la estructura de una deducción natural de la prueba es bastante esencial para mantener un control sobre lo que está pasando (así que usted puede ver que temporal supuestos que están en juego en el cual el escenario y cuando se descarga). [Nota: he usado una Fitch estilo de la pantalla porque es más fácil que hacer aquí en matemáticas.se y porque es muy claro. Pero usted debería ser capaz de convertir esto en un Gentzen estilo de visualización de árbol bastante fácilmente.]