Trigonometría problema - la eliminación de la $\theta$

Question

Eliminar $\theta$ a partir de las ecuaciones $$\frac{\cos(\alpha-3\theta)}{\cos^3\theta}=\frac{\sin(\alpha-3\theta)}{\sin^3\theta}=m$$

Ans: $m^2+m\cos\alpha-2=0$.

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He intentado utilizar las dos siguientes identidades: $$\cos(3\theta)=4\cos^3(\theta)-3\cos(\theta)$$ $$\sin(3\theta)=3\sin(\theta)-4\sin^3(\theta)$$ pero estas no ayuda mucho. Estoy seguro de que este es un problema sencillo, pero no soy capaz de averiguar el enfoque adecuado para resolver. :(

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias!

Answer 1

El uso de $\displaystyle\sin(A-B),\cos(A-B)$ y en el reordenamiento tenemos $$\cos\alpha\cos3\theta+\sin\alpha\sin3\theta-m\cos^3\theta=0\ \ \ \ (1)$$

$$\cos\alpha\sin3\theta-\sin\alpha\cos3\theta+m\sin^3\theta=0\ \ \ \ (2)$$

La solución para $\displaystyle\cos\alpha,\sin\alpha,$

$\displaystyle\dfrac{\cos\alpha}m=\cos^3\theta\cos3\theta-\sin^3\theta\sin3\theta$

$\displaystyle=\cos^3\theta(4\cos^3\theta-3\cos\theta)-\sin^3\theta(3\sin\theta-4\sin^3\theta)$

$\displaystyle=4(\cos^6\theta+\sin^6\theta)-3(\cos^4\theta+\sin^4\theta)$

$\displaystyle=4\{(\cos^2\theta+\sin^2\theta)^3-3(\cos^2\theta\sin^2\theta)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\}-3\{(\cos^2\theta+\sin^2\theta)^2-2\cos^2\theta\sin^2\theta\}$

$\displaystyle\implies\dfrac{\cos\alpha}m=1-6(\sin\theta\cos\theta)^2\ \ \ \ (3)$

Del mismo modo, $\displaystyle\dfrac{\sin\alpha}m=-3(\sin\theta\cos\theta)\ \ \ \ (4)$

Comparar los valores de $(\sin\theta\cos\theta)^2$ $(3),(4)$ a eliminar la $\theta$ y simplificar