Puedo deducir ZFC Estándar de "ZFC Dedekind"?

Question

ZFC Estándar: Infinito, Extensionality, Especificación, Vinculación, Unión, Sustitución, juego de Poder, la Elección y la Regularidad.
ZFC Dedekind: Infinity reemplazado bij Dedekind Inifinity, otros 8 axiomas de la misma como estándar.
El infinito en ZFC Estándar: la existencia de un sucesor set$S$$\emptyset\in S$, y para cada $x \in S$ $x \cup \{x\} \in S$ .
Dedekind Infinito: la existencia de un Dedekind-establecer $D$ tener una adecuada subconjunto $E$ que es equiparada a $D$. Son equiparables significa: existe una propiedad $P(x,y)$ de los conjuntos tales que para cada $x \in D$ existe una única $y \in D$ tal que $P(x,y)$ mantiene y al revés, existe para cada $y \in E$ una $x \in D$ tal que $P(x,y)$ mantiene.

A partir de la existencia de $D$ es a partir de las 8 otros axiomas, me gustaría probar la existencia de $S$.

Me las arreglé para hacer el siguiente. La propiedad $P(x,y)$ induce een clase de relación $f$, definido bij $(x,y) \in f$ fib $P(x,y)$. La restricción de $f$ D es un bijection $D \to E$. Para un $d_0 \in D\setminus E$ definir el conjunto $N$ a ser la intersección de todos los conjuntos de $X\subseteq D$ tal que $d_0 \in X$ que $f(x) \in X$ por cada $x \in X$. Se puede demostrar que los axiomas de Peano presionado para $N$ con cero $d_0$ y la función sucesor $f$. Por lo $N$ puede ser realmente visto como una instancia del conjunto de los números naturales.
También me las arreglé para demostrar el Teorema de Recursión para $N$. Es decir, dado un conjunto de $A$, een $N$-definición recursiva conduce a un bien definido y único de la función $a: N \to A$. Ahora tome $S=\{a(x):x \in N\}$ donde $a(d_0)=\emptyset$ y $a(f(x))=a(x) \cup \{a(x)\}$. $S$ satisface las condiciones y por el Reemplazo de $S$ es un conjunto debido a $N$ es como conjunto. Por lo que parece hacer.

Pero, ¿qué debería elegir para el conjunto de $A$?

Answer 1

Se nos da $D, E, P$ y elegir algunas $d_0\in D\setminus E$. Decir que $G$ es un bonito gráfico si

1. $G\subseteq D\times\alpha$ para algunos ordinal $\alpha$
2. $\langle d_0,\emptyset\rangle\in G$
3. $\langle d,x\rangle,\langle d,y\rangle\in G\to x=y$
4. $\langle d,x\rangle,\langle e,y\rangle\in G, P(d,e)\to y=S(x)$
5. $d\in D, e\in \operatorname{dom}(G), P(d,e)\to d\in\operatorname{dom}(G)$

[La intención es que el $G$ es la gráfica de una orden de preservación de la bijection inicial de un segemant de $D$ (un segmento inicial de) un ordinal]

Decir que $D'\subseteq D$ es un buen dominio de si existe exactamente un bonito gráfico de $G$ con $\operatorname{dom}(G)=D'$.

Decir que $d\in D$ es un buen punto , si existe una única $y$ tal que $\langle d,y\rangle \in G$ por cada gráfico agradable con un buen dominio que contiene la $d$. A continuación, tenemos una función de la clase $\phi$ que se asigna un agradable punto de $d$ a que la única $y=:\phi(d)$. Deje $N$ el conjunto de puntos buenos, y por el Axioma Esquema de Reemplazo deje $\Omega=\{\,\phi(d):d\in N\,\}$.

Tomamos nota de que $\{\langle d_0,\emptyset\rangle \}$ es un buen gráfico. Por las condiciones 2 y 3, esto hace que $\{d_0\}$ un buen dominio y $d_0$ un buen punto de con $\phi(d_0)=\emptyset$, por lo que en última instancia,$\emptyset\in\Omega$.

La próxima vamos a $d\in N$ y deje $e\in E$ ser el único elemento con $P(d,e)$. Desde $d$ es un buen punto, existe un buen dominio de $D'\ni d$. Deje $G$ ser el único agradable gráfico con dominio de $D'$. A continuación, $D'\cup \{e\}$ es también un buen dominio. Por si $e\notin D'$ $G\cup\{\langle e,S(\phi(d))\rangle\}$ es una buena gráfica y fácilmente verificadas a ser único con este dominio, dada la singularidad de $G$$D'$. Esto, junto con la observación de que cada buen dominio que contiene la $e$ también contiene $d$, hace $e$ un buen punto de con $\phi(e)=S(\phi(d))$. Llegamos a la conclusión de que $\Omega$ es cerrado bajo $S$, es decir, $\Omega$ es un conjunto inductivo.

Answer 2

Desde un Dedekind conjunto infinito no puede estar en bijection con cualquier finito de los números ordinales, el conjunto de todos los ordinales que se inyecte en una infinita ordinal. Por lo que podemos definir $\omega$ cual es el menor conjunto inductivo.

Answer 3

Es más fácil comenzar con una definición equivalente de Dedekind-infinito:

Un conjunto $X$ es Dedekind-infinito iff existe $f:X\to X$ donde $f$ es inyectiva pero no surjective.

Desde $D$ es Dedekind-infinito, no debe existir $f:D\to D$ donde $f$ es inyectiva pero no surjective.

Desde $f$ no es surjective, debe existir $x_0\in D$ tal que para todos los $x\in D$ tenemos $f(x)\ne x_0$.

Construir subconjunto $N\subseteq D$ tal que $N=\{x_0, f(x_0), f(f(x_0)), \cdots\}$

Más formalmente, se aplican Especificación para obtener:

$\forall a:[a\in N \iff a\in D \land \forall b:[x_0\in b \land \forall c:[c\in b \land c \in D \implies f(c)\in b] \implies a \in b]]$

Construcción $S:N\to N$ tal que $S(x)=f(x)$

$(N,S,x_0)$ pueden mostrarse para satisfacer la costumbre axiomas de Peano donde $S$ es el sucesor de la función en $N$ $x_0$ es el primer elemento de $N$.