Un juego con las piedras y la búsqueda de la ganancia de conjunto

Question

Para un entero positivo $n$, dos jugadores de $A$ $B$ jugar el siguiente : Dado un montón de $s$ piedras, los jugadores se turnan alternativamente con $A$ va primero. En cada turno, el jugador puede tomar ya sea una piedra, o un número primo de piedras, o un múltiple positivo de $n$ muchas piedras. El ganador es el que tiene la última piedra. Suponiendo que ambos $A$ $B$ jugar perfectamente, ¿para cuántos valores de $s$ el jugador $A$ no puede ganar?

Este es un problema de JBMO de 2014. Alguien me puede ayudar? No tengo la menor idea de que hacer. Muchas gracias.

Answer 1

Reproductor $A$ no exactamente $n-1$ valores de $s$. Por qué? Si $s$ es un múltiplo de a $n$ $A$ puede ganar de inmediato. Ahora aviso no puede haber más de una posición perdedora para $A$ en cada clase de congruencia. Desde el reproductor de $A$ pueden ir desde un número más grande de perder la punta del número para el que pierde el número de apartar a un múltiplo de $n$. Ahora el jugador $B$ está en una posición perdedora y $A$ puede ganar.

Es posible que un no 0 congruencia $i$ no tiene una posición perdedora?Supongamos que el perder la posición es $p_1,p_2,p_3\dots p_j$. Si no fue no perder la posición en un determinado congruencia que significaría que de cada valor de $k$, podemos llegar a una de las posiciones perdedoras de $kn+i$, pero eso significaría que siempre hay un primo de la forma $(kn+i)-p_l$ sin embargo el aviso a todos los de la $p$'s tienen diferentes congruencia mod $n$, entonces eso significaría que para que esto suceda, necesitamos un principal para cada valor de $k$, pero esto implica la de los números primos tienen una densidad positiva. Así que hay exactamente $n-1$ perder posiciones.