Cuando no son símbolos de Christoffel simétrica con respecto a su parte inferior índices? ¿Por qué no la simetría de la segunda derivados de la verdad en este caso?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Natrium
Puntos
171
Deje $\pi:E\rightarrow M$ ser arbitraria vector paquete, no necesariamente la tangente bundle $TM$$M$. A nivel local, decir que es un subconjunto abierto $U\subset M$, se puede elegir una familia de sabios linealmente independientes secciones $\{E_i:U\rightarrow E\}$, lo que se llama un local marco en $E$ ( $U$ ). A continuación, cada sección $X:U\rightarrow E$ puede ser únicamente representado en términos de $\{E_i\}$ $$ X=X^i E_i \quad \mbox{(Einstien suma se supone)} $$
En presencia de una conexión de $\nabla$ $E$ covariantes derivados puede ser calculado en términos de los símbolos de Christoffel de $\nabla$ con respecto a los locales marco de $\{E_i\}$ se define como $$ \nabla_{E_i}{E_j} = \Gamma^k_{ij} E_k $$
En general, los símbolos de Christoffel necesidad de no ser simétrica, ya que la torsión no puede desaparecer, como se señaló por los comentaristas.
Para el caso de los colectores de Riemann, la métrica de Riemann $g$ induce una conexión preferida en la tangente paquete que se llama Levi-Civita de conexión. Preferimos esto porque es de torsión libre (el tensor de torsión $T(X,Y)=\nabla_X Y - \nabla_Y X -[X,Y]$ desaparece) y el tensor métrico es paralelo w.r.t. a: $\nabla g =0$.
Conexiones en la tangente del paquete que se ha denominado lineal.
En una coordenada parche $(U,x^i)$ tenemos la norma marco de coordenadas $\{ \partial_i \}$ (de la tangente bundle) donde los campos vectoriales $\partial_i$ actuar como derivadas parciales de funciones. Esto implica que un lineal de conexión es de torsión libre si y sólo si los símbolos de Christoffel con respecto a cualquier cuadro de coordenadas (!) son simétricas w.r.t la parte inferior de índices (ver J. Lee, colectores de Riemann. Una introducción a la curvatura, Springer 1987, pág.63) (Sugerencia: $[\partial_i, \partial_j]=0)$
