Mostrar que para $\theta\in\mathbb{Z}[i]$ si $\theta=a+bi$$\mathrm{gcd}(a,b)=1$, $\mathbb{Z}[i] / (\theta)\cong\mathbb{Z}/{(N(\theta))}.$
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z_dood
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Considerar la natural anillo de homomorphism $\varphi:\mathbb Z\to\frac{\mathbb Z[i]}{\theta\mathbb Z[i]}$. Desde $\gcd(a,b)=1$, $r,s\in\mathbb Z$ tal que $ar+bs=1$, lo que implica $(s+ri)\theta=as-br+i$, y por lo $i+\theta\mathbb Z[i]$ es en la imagen de $\varphi$. En consecuencia, $\varphi$ es surjective.
Ahora si $n\in N(\theta)\mathbb Z$ $n=mN(\theta)=m(a-bi)\theta$ algunos $m\in\mathbb Z$, lo que implica $n\in\ker(\varphi)$. Por el contrario, si $n=(c+di)\theta$ algunos $c,d\in\mathbb Z$$n(a-bi)=N(\theta)(c+di)$, por lo tanto $na=N(\theta)c$ $N(\theta)$ divide $na$ en $\mathbb Z$; desde $\gcd\bigl(N(\theta),a\bigr)=\gcd(a^2+b^2,a)=1$ porque $\gcd(a,b)=1$ $N(\theta)$ divide $n$$\mathbb Z$. Esto demuestra que $\ker(\varphi)=N(\theta)\mathbb Z$. Ahora aplique el teorema de isomorfismo.
