Qué $\|A\|_2\leq \|B\|_2$ implican $\|CA\|_2\leq \|CB\|_2$ o $\|AC\|_2\leq \|BC\|_2$?

Question

Asumir que las matrices de $A$, $B$, y $C$ son de las mismas dimensiones, no $\|A\|_2\leq \|B\|_2$ implican $\|CA\|_2\leq \|CB\|_2$ o $\|AC\|_2\leq \|BC\|_2$?

$\|A\|_2$ denota por $\lambda_{max}\sqrt{A^TA}$, e $\lambda_{max}$ es el mayor autovalor.

Answer 1

No. Considere la posibilidad de $A = \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix}0&0\\0&2\end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$. Claramente, $\|A\|_2 = 1 \le 2 - \|B\|_2$.

Sin embargo, desde la $AC = CA = \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$$BC = CB = \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$,$\|AC\|_2 = 1 > 0 = \|BC\|_2$$\|CA\|_2 = 1 > 0 = \|CB\|_2$.

Por lo tanto, $\|A\|_2 \le \|B\|_2$ no supone ni $\|CA\|_2 \le \|CB\|_2$ o $\|AC\|_2 \le \|BC\|_2$.

Answer 2

Muy general contraejemplo: sea $P$, $Q$ las proyecciones de dos ortogonales (no trivial) subespacios. Wlog podemos suponer $0<\|P\|\le\|Q\|$. Ahora, $$\|PP\|=\|P\|\not\le 0 =\|PQ\|,\qquad \|PP\|=\|P\|\not\le 0 =\|QP\|.$$