Consideremos $C(n,k)$ como símbolo de Newton. El Teorema de Lucas establece que $C(n,k)$ es divisible por el primo $p$ si y sólo si al menos una de las bases $p$ dígitos de $k$ es mayor que el dígito correspondiente de $n$ .
¿Pero qué pasa si tenemos p no primo? ¿Es la única manera de factorizarlo a $p_1^{a_1}, p_2^{a_2}....p_n^{a_n}$ y comprobar si esta relación es verdadera para cada $p_i$ ?
¿Hay algún método más rápido? Saludos
Haciendo eco y ampliando el comentario de Porfirio, la idea de tener un gran número de partículas aparece en la KMT porque ésta es una teoría estadística. Es decir, todo lo que predice la KMT es alguna propiedad media o, para ser rigurosos, el valor de la expectativa de una distribución.
Por lo tanto, si sólo se tuviera un número muy pequeño de partículas, nunca se llegaría a algo como el Distribución de Maxwell-Boltzmann porque habría que tratar cada partícula individualmente en lugar de promediar en un espacio de fase.
Así que, para responder a su pregunta real, necesitamos esta suposición porque nos justifica en hacer cosas como la derivación en este enlace donde se toma la derivada de la función desconocida (ecuación 9.8). Eso supone que esta función es continua en todo el espacio porque no se ponen restricciones a la función resultante. La única forma en que podemos hacer eso y esperar que nuestra teoría coincida con la realidad es si la realidad tiene una distribución aproximadamente continua de las velocidades de las partículas, es decir, muchas partículas presentes.
Así es, $10^{23}$ partículas realmente no es tanto en la práctica, por lo que cuando se baja a presiones y temperaturas muy bajas (que es la densidad numérica $\frac{N}{V}$ es pequeño) la teoría sigue funcionando porque algo como $10^6$ probablemente sigue siendo una función bastante continua.
Como un aparte totalmente no relacionado, también podría preguntarse si la distribución de MB es incorrecta porque permite que las partículas tengan velocidades que van desde $0\rightarrow \infty > c$ ... He calculado la corrección especial relativista una vez y es tan ridículamente pequeña que realmente te molesta que te hayas tomado la molestia de hacerlo.
Sé que esta respuesta se ha centrado sobre todo en la distribución de MB, pero eso es muy importante para la KMT, así que pensé que sería una respuesta representativa, aunque no exhaustiva.
EDITAR:
Sin embargo, para ser crítico con mi respuesta, estoy casi seguro de que gran parte de la KMT es derivable pensando sólo en una partícula que muestrea todo su espacio de fases (quizás todo a la vez) y una vez podría argumentar simplemente que la función anterior de la que menciono tomar la derivada es una distribución hipotética en la que cada uno de los infinitos estados no tiene por qué estar ocupado en un momento dado. Así que, básicamente, si se toma una media temporal del espacio de fases a lo largo de un tiempo infinito, se obtiene esta distribución continua. Esa idea también se alinea bien con las ideas que tienen que ver con la función de partición en la que cada estado podría ser igualmente probable, pero obtenemos una distribución no uniforme porque algunos estados tienen más probabilidades de ser muestreados.
Entonces, quizá sea más instructivo físicamente pensar en un gran número de partículas.
Hasta donde yo sé, no hay una manera de averiguar la divisibilidad de un factorial módulo de un no-primo sin factorizar primero - aunque dependiendo de sus necesidades, podría haber una manera más rápida.
El teorema de Lucas se utiliza para calcular el valor exacto de $C(n, k)$ mod prime $p$ sin necesidad de utilizar números grandes (no necesita calcular factoriales mayores que $(p-1)!$ ). Si sólo necesita saber si $p$ divide $C(n, k)$ , puedes simplemente romper $C(n, k)$ en las partes que lo componen y utilizar Teorema de Legendre con algo de aritmética básica.
En concreto, si definimos $L(n, p)$ para aplicar el Teorema de Legendre al factorial de un número entero $n$ con respecto a los primos $p$ la potencia máxima de $p$ que divide $C(n, k)$ es $L(n, p) - L(k, p) - L((n-k), p)$ que me referiré como $L_{nCk}(n, k, p)$ . $L_{nCk}(n, k, p)$ devuelve un recuento de factores de $p$ en $C(n, k)$ calculando la potencia máxima de $p$ que divide $n!$ y restando la potencia máxima que divide $k!$ y la potencia máxima que divide $(n-k)!$ . Si esto es $0$ entonces $p$ no divide $C(n, k)$ ya que los factores de $p$ en el numerador de la exapnión de $C(n, k)$ se cancelan por los factores de $p$ en el denominador.
Tomando todo esto en conjunto, para encontrar la respuesta de un número compuesto genérico, divídelo en sus factores primos $\prod p_i^{a_i}$ y verificar que $L_{nCk}(n, k, p_i) \ge a_i$ para cada $p_i$ .
Si usted hacer necesita conocer el valor del módulo resultante, el papel que mixedmath vinculado es actualmente la única manera de obtener lo que necesita. (Tendrás que usar el Teorema del Resto Chino para construir el módulo resultante a partir de los módulos con respecto a los factores que construyen tu número compuesto genérico. Esto es mucho más complejo que el simple uso de $L_{nCk}(n, k, p)$ desgraciadamente).
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