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Evaluar la integral 212xxxyeyxdydx

Estoy tratando de evaluar la integral 212xxxyeyx dy dx. Integración directa implica una función no elemental (erfc), por lo que es necesario un cambio de variables. Sin embargo, no puedo averiguar alguno útil. ¿Alguna sugerencia?

8voto

Justin Walgran Puntos 552

Deje u=y/x en el interior de la integral. Usted obtener 2121u1/2euxdudx y esto factores muy bien, dando 21xdx21u1/2eudu. El primer factor es 3/2. Ahora vamos a u=v2 en la segunda integral; a continuación, la segunda integral es 21ev2dv que puede ser escrito en términos de la imaginaria de la función de error.

2voto

Robert Christie Puntos 7323

En primer lugar, realizar la integración con respecto a y variable. Para este fin, realizar el cambio de variabels 2y/x=t, es decir,2/x2(y/x)dy=dt, lo que da dy=xt2dt. Ahora

x2xxyeyxdy=222tet22xt2dt=x222et22dt.

Integración con respecto a la x ahora es trivial: 21x222et22dtdx=(21x2dx)22et22dt=32222et22dt.

Ahora et22dt=π2erfi(t2). Por lo tanto la respuesta es

34π(erfi(2)erfi(1))

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