Evaluar la integral $\displaystyle\int_1^2 \int_x^{2x} \sqrt{\dfrac xy} e^{\tfrac yx}\; dy\; dx$

Question

Estoy tratando de evaluar la integral $\displaystyle\int_1^2 \int_x^{2x} \sqrt{\dfrac xy} e^{\tfrac yx}\ dy\ dx$. Integración directa implica una función no elemental (erfc), por lo que es necesario un cambio de variables. Sin embargo, no puedo averiguar alguno útil. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Deje $u = y/x$ en el interior de la integral. Usted obtener $$ \int_1^2 \int_1^2 u^{-1/2} e^u \: x \: du \: dx $$ y esto factores muy bien, dando $$ \int_1^2 x \: dx \int_1^2 u^{-1/2} e^u \: du.$$ El primer factor es $3/2$. Ahora vamos a $u = v^2$ en la segunda integral; a continuación, la segunda integral es $$ \int_1^{\sqrt{2}} e^{v^2} \: dv $$ que puede ser escrito en términos de la imaginaria de la función de error.

Answer 2

En primer lugar, realizar la integración con respecto a $y$ variable. Para este fin, realizar el cambio de variabels $ \sqrt{2 y/x} = t$, es decir,$\frac{2/x}{\sqrt{2 (y/x)}} \mathrm{d} y = \mathrm{d}t$, lo que da $\mathrm{d} y = \frac{x t}{2} \mathrm{d} t$. Ahora

$$ \int_x^{x 2} \sqrt{\frac{x}{y}} \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{d} y = \int_\sqrt{2}^{2} \frac{\sqrt{2}}{t} \cdot \mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}} \cdot \frac{x t}{2} \, \mathrm{d} t = \frac{x}{\sqrt{2}} \int_\sqrt{2}^{2} \mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}} \mathrm{d} t. $$

Integración con respecto a la $x$ ahora es trivial: $$ \int_1^2 \frac{x}{\sqrt{2}} \int_\sqrt{2}^{2} \mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}} \mathrm{d} t \mathrm{d} x = \left(\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{2}} \mathrm{d} x \right) \int_\sqrt{2}^{2} \mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}} \mathrm{d} t = \frac{3}{2 \sqrt{2}} \int_\sqrt{2}^{2} \mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}} \mathrm{d} t. $$

Ahora $ \int \mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}} \mathrm{d} t = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \operatorname{erfi}(\frac{t}{\sqrt{2}})$. Por lo tanto la respuesta es

$$ \frac{3}{4} \sqrt{\pi } \left(\text{erfi}\left(\sqrt{2}\right)-\text{erfi}(1)\right) $$