Estoy tratando de evaluar la integral ∫21∫2xx√xyeyx dy dx. Integración directa implica una función no elemental (erfc), por lo que es necesario un cambio de variables. Sin embargo, no puedo averiguar alguno útil. ¿Alguna sugerencia?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Deje u=y/x en el interior de la integral. Usted obtener ∫21∫21u−1/2euxdudx y esto factores muy bien, dando ∫21xdx∫21u−1/2eudu. El primer factor es 3/2. Ahora vamos a u=v2 en la segunda integral; a continuación, la segunda integral es ∫√21ev2dv que puede ser escrito en términos de la imaginaria de la función de error.
En primer lugar, realizar la integración con respecto a y variable. Para este fin, realizar el cambio de variabels √2y/x=t, es decir,2/x√2(y/x)dy=dt, lo que da dy=xt2dt. Ahora
∫x2x√xyeyxdy=∫2√2√2t⋅et22⋅xt2dt=x√2∫2√2et22dt.
Integración con respecto a la x ahora es trivial: ∫21x√2∫2√2et22dtdx=(∫21x√2dx)∫2√2et22dt=32√2∫2√2et22dt.
Ahora ∫et22dt=√π2erfi(t√2). Por lo tanto la respuesta es
34√π(erfi(√2)−erfi(1))