límite de $ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ f_{n} (x)- f_{n-1} (x)}{ (1-x)^{n} }=? $

Question

Dejemos que

$$ f_{n} (x)= x^{ x^{\scriptstyle\cdot^{\scriptstyle\cdot^{\scriptstyle\cdot^{\scriptstyle x}}}}}$$

Entonces

$$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ f_{n} (x)- f_{n-1} (x)}{ (1-x)^{n} }={?} $$

Mi intento:

\begin{align} \lim_{x \rightarrow 1} \frac{f_n-f_{n-1}}{(1-x)^{n}} &=\lim_{x \rightarrow 1}{ \frac{ e^{\ln f_{n} (x) } - e^{\ln f_{n-1} (x) } }{(1-x)^{n}} } \\[6px] &=\lim_{x \rightarrow 1}{ \frac{ e^{f_{n-1} (x)\ln x } - e^{f_{n-2} (x)\ln x } }{(1-x)^{n}} } \\[6px] &=\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln x(f_{n-1} (x)-f_{n-2} (x))}{ (1-x)^{n} } \end{align}

¿Ahora?

Answer 1

Estás muy cerca de la solución. Al establecer $L_n=\lim_{x\to 1}\frac{f_n(x)-f_{n-1}(x)}{(x-1)^n}$ tenemos

$$ L_1 = \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x-1}=1,\quad L_2=\lim_{x\to 1}\frac{x^x-x}{(x-1)^2}= 1$$ y $$\begin{eqnarray*} L_n = \lim_{x\to 1}\frac{f_n(x)-f_{n-1}(x)}{(x-1)^n}&=&\lim_{x\to 1}\frac{\exp(f_{n-1}(x)\log x)-\exp(f_{n-2}(x)\log x)}{(x-1)^n}\\&=& \lim_{x\to 1}\frac{\log x}{x-1}\cdot \frac{f_{n-1}(x)-f_{n-2}(x)}{(x-1)^{n-1}}\\&\stackrel{d.H.}{=}&\lim_{x\to 1}\frac{f_{n-1}(x)-f_{n-2}(x)}{(x-1)^{n-1}}=L_{n-1}\end{eqnarray*}$$ por lo que se deduce que $L_n=\color{red}{1}$ para cualquier $n\geq 1$ .